Question

4．如图所示，间距为L=0.45m的带电金属板M、N竖直固定在绝缘平面上，板间形成匀强电场，场强E=1.5×10⁴V/m．N板接地（电势为零），其中央有一小孔，一根水平绝缘细杆通过小孔，其左端固定在极板M上．现有一质量m=0.05kg，带电量q=+5.0×10^-6C的带正电小环套在细杆上，小环与细杆之间的动摩擦因数为μ=0.1．小环以一定的初速度对准小孔向左运动，若小环与金属板M发生碰撞，碰撞中能量不损失（即碰后瞬间速度大小不变）．设带电环大小不计且不影响金属板间电场的分布（g取10m/s²）．求：
（1）带电小环以多大的初速度v₀进入电场，才能恰好到达金属板M？
（2）若带电小环以初速度v₁=1m/s进入电场，当其动能等于电势能时，距离N板多远？
（3）小环至少以多大的初速度v₂进入电场，它在电场中运动时找不到动能与电势能相等的点？

Answer 1

分析 （1）小环进入电场后，在电场力与摩擦力共同作用下减速直到M板，速度变为零，根据动能定理即可求得初速度；
（2）带电小环以初速度v₁=1m/s进入电场后先向左作减速运动，当其动能等于电势能时，设它距离N板为x，根据动能定理即可求得x，还有一种情况，当小环运动到左边最远点并向右返回到小孔的过程中，也可能会出现动能等于电势能．设它向左运动的最远距离为d，根据动能定理即可求解；
（3）小环以初速度v₂进入电场后，若它运动到M板时的动能大于其电势能，则它在电场中运动时找不到动能与电势能相等的点．

解答 解：（1）小环进入电场后，在电场力和摩擦力共同作用下减速直到M板，速度变为零，根据动能定理有
$-qEL-μmgL=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2（qE+μmg）L}{m}}$=$\sqrt{\frac{2（5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}+0.1×0.05×10）×0.45}{o.05}}$=1.5m/s
（2）带电小环以初速度${v}_{1}^{\;}=1m/s$进入电场后先向左做减速运动，当其动能等于电势能时，设它距离N板为x，有
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-qEx-μmgx=qEx$
解得：$x=\frac{m{v}_{1}^{2}}{4qE+2μmg}$=$\frac{0.05×{1}_{\;}^{2}}{4×5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}+2×0.1×0.05×10}$=0.125m
还有一种情况，当小环运动到左边最远点并向右返回到小孔的过程中，也可能会出现动能等于电势能．设它向左运动的最远距离为d，根据动能定理有
$-qEd-μmgd=0-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：$d=\frac{m{v}_{1}^{2}}{2（qE+μmg）}$=$\frac{0.05×{1}_{\;}^{2}}{2×（5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}+0.1×0.05×10）}$=0.2m
当其动能等于电势能时，设它距离N板为y，有qE（d-y）-μmg（d-y）=qEy
解得$y=\frac{（qE-μmg）d}{2qE-μmg}$=$\frac{（5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}-0.1×0.05×10）×0.2}{2×5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}-0.1×0.05×10}$=0.05m
（3）小环以初速度v₂进入电场后，若它运动到M板时的动能大于其电势能，则它在电场中运动时找不到动能与电势能相等的点
$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-（qE+μmg）L＞qEL$
得${v}_{2}^{\;}＞\sqrt{\frac{2（qE+μmg）L}{m}}$=$\sqrt{\frac{2（5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}+0.1×0.05×10）×0.45}{0.05}}$=$\sqrt{3.6}m/s≈1.9m/s$
答：（1）带电小环以初速度1.5m/s进入电场，才能恰好到达金属板M；
（2）若带电小环以初速度v₁=1m/s进入电场，当其动能等于电势能时，距离N板的距离为0.125m或0.05m；
（3）小环至少以1.9m/s的初速度进入电场，它在电场中运动时找不到动能与电势能相等的点．

点评 本题主要考查了动能定理在带电离子电场中运动的应用，要求同学们能选取适当的过程运用动能定理解题，难度适中．