Question

14．如图所示，将一个透明长方体放在空气中，矩形ABCD是它的一个截面，已知一单色细光束从P点以入射角θ=30°入射时恰好可直接射到D点，$\overline{AD}$=$\sqrt{6}$$\overline{AP}$．
（i）求此透明长方体的折射率；
（ii）若改变入射角θ，要使此光束在AD面上发生全反射，求角θ的范围．

Answer 1

分析 （i）结合题意，作出光路图，由几何关系求出折射角，再根据折射定律求折射率．
（ii）结合全反射的条件，以及折射定律和几何关系求出角θ的范围．

解答 解：（i）设折射角为α，AP的长度为d，如下图所示．由几何关系有：
  sinα=$\frac{d}{\sqrt{{d}^{2}+（\sqrt{6}d）^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{7}}$
由折射定律有 n=$\frac{sinθ}{sinα}$                                        
解得折射率 n=$\frac{\sqrt{7}}{2}$                                             

（ii）如图，要此光束在AD面上发生全反射，
则要求射至AD面上的入射角β应满足 sinβ≥sinC               
又有  sinC=$\frac{1}{n}$                                                
则得 sinβ=cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\sqrt{1-（\frac{sinθ}{n}）^{2}}$
解得角θ的最大值 θ=60°                                       
所以：30°≤θ≤60°       
答：
（i）此透明长方体的折射率是$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
（ii）角θ的范围是30°≤θ≤60°．

点评 本题是全反射、折射定律、临界角等知识的综合应用，首先要正确作出光路图，运用几何知识研究折射角的正弦．掌握临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，结合全反射条件分析这类问题．