Question

19．如图甲所示为验证机械能守恒定律的实验简图，地面以下为较松软的泥土．实验时把一质量为m的铁块举到离地面高为H的地方，让其自由下落，落入泥土中．铁块下面贴有力传感器（质量忽略不计），可测得泥土中任意深度h处铁块受到的阻力f，图乙为计算机根据所测数据绘制的拟合图象（横轴表示深度h，单位cm，纵轴表示阻力f，单位N）．

分析图象数据，可得出铁块受到的阻力f与深度h的关系为f=kh³（选填“f=kh²”、“f=kh³”或“f=kh⁴ⁿ）．某次实验中，铁块下落深度为h₁时停止运动，尝试写出铁块从下落到落地前验证其机械能守恒定律的方程mgH=$\frac{1}{4}k{{h}_{1}}^{4}-mg{h}_{1}$（比例系数k为已知）

Answer 1

分析 根据图乙中f和h的图线对应的数据，得出f与h的定量关系．根据动能定理，抓住f-h图线围成的面积表示克服阻力做功大小，结合数学知识，求出落地的动能，再结合机械能守恒得出铁块从下落到落地前验证其机械能守恒定律的方程．

解答 解：由图乙知，当h=2cm时，f=8N，当h=2.5cm时，f≈15.6N，可知铁块受到阻力f与深度h的关系为f=kh³，
对进入泥土的过程运用动能定理得：$mg{h}_{1}-{W}_{f}=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
f-h图线围成的面积表示克服摩擦力做功，运用数学微积分得：${W}_{f}=\frac{1}{4}k{{h}_{1}}^{4}$，
可知落地的动能为：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{4}k{{h}_{1}}^{4}-mg{h}_{1}$，
根据机械能守恒有：mgH=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
即mgH=$\frac{1}{4}k{{h}_{1}}^{4}-mg{h}_{1}$．
故答案为：f=kh³，mgH=$\frac{1}{4}k{{h}_{1}}^{4}-mg{h}_{1}$．

点评 本题考查了学生通过实验数据分析物理量之间定量关系的能力，通过动能定理，抓住f-h图线围成的面积表示克服阻力做功得出落地的动能是解决本题的关键．