Question

14．月球自转一周的时间与月球绕地球运行一周的时间相等，都为T₀．我国的“嫦娥l号”探月卫星于2007年11月7日成功进入绕月运行的“极月圆轨道”，这一圆形轨道通过月球两极上空，距月面的高度为h．若月球质量为M，月球半径为R，万有引力恒量为G．
（1）求“嫦娥l号”绕月运行的周期．
（2）在月球自转一周的过程中，“嫦娥l号”将绕月运行多少圈？
（3）“嫦娥l号”携带了一台CCD摄相机（摄相机拍摄不受光照影响），随着卫星的飞行，摄像机将对月球表面进行连续拍摄．要求在月球自转一周的时间内，将月面各处全部拍摄下来，摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少是多少？

Answer 1

分析 （1）“嫦娥1号”轨道半径为r=R+h，根据月球对“嫦娥1号”万有引力等于“嫦娥1号”所需要的向心力列方程求解“嫦娥1号”绕月运行的周期T．
（2）在月球自转一周的过程中，“嫦娥1号”绕月运行的圈数等于“嫦娥1号”的周期与月球自转周期之比．
（3）摄像机只要将月球的“赤道”拍摄全，便能将月面各处全部拍摄下来；卫星绕月球转一周可对月球“赤道”拍摄两次，由拍摄到的月球表面宽度与月球周长的关系求解．

解答 解：（1）“嫦娥1号”轨道半径r=R+h，
          G$\frac{mM}{r^2}$=m$\frac{{4{π^2}}}{{T_{\;}^2}}$r  
    可得“嫦娥1号”卫星绕月周期T=2π$\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{GM}}$
   （2）在月球自转一周的过程中，“嫦娥1号”将绕月运行圈数$n=\frac{T_0}{T}=\frac{T_0}{2π}\sqrt{\frac{GM}{{{{（R+h）}^3}}}}$
   （3）摄像机只要将月球的“赤道”拍摄全，便能将月面各处全部拍摄下来；卫星绕月球转一周可对月球“赤道”拍摄两次，所以摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少为$s=\frac{2πR}{2n}=\frac{{2{π^2}R}}{T_0}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{GM}}$
答：（1）“嫦娥1号”绕月运行的周期为2π$\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{GM}}$．
    （2）在月球自转一周的过程中，“嫦娥1号”将绕月运行$\frac{{T}_{0}}{2π}\sqrt{\frac{GM}{（R+h）^{3}}}$圈．
    （3）要求在月球自转一周的时间内，将月面各处全部拍摄下来，摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少是$\frac{2{π}^{2}R}{{T}_{0}}\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$．

点评 本题考查应用物理知识分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，运用万有引力等于向心力研究．