Question

9．激流勇进是游乐园常有的机动游乐项目．其工作原理是由主动轮将游船沿较长的倾斜轨道提升至一定高度，然后船只从高处滑下，冲入水中，溅起很高且美丽的水花，整个过程刺激又有趣．其工作过程可以简化为如下情景：如图所示，左侧倾角α=30°的轨道AB（其长L₁=30m）上相互间隔安装着主动轮，主动轮与游船间的动摩擦因数u₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；右侧倾角β=53°的轨道CD（其长L₂=20m）上相互间隔安装着导向轮（不会提供动力），导向轮与游船间的动摩擦因数均为u₂=$\frac{41}{72}$；左右两侧轨道通过一段平滑轨道BC（其长L₃=3m）相连，两相邻主动轮（或导向轮）间的距离s₀=1m．长为L₀=2m的游船上坐着两个游客，总质量为180kg，从左侧轨道如图所示的位置由静止开始被主动轮带动向上运动（主动轮的半径r=0.2m，恒定的角速度ω=10rad/s），达恒定的速率后，一直以此速率运动到游船尾部刚好与右侧轨道的上端C点平齐的位置，之后在导向轮上向下滑动．已知g=10m/s²，sin 53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）游船从轨道左侧运动到右侧底端（船头刚好触及水面）所用总时间；
（2）动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比．

Answer 1

分析 （1）游船向上的运动有两段：先向上做加速运动，然后做匀速运动，向由牛顿第二定律求出游船的加速度，然后由运动学的公式求出向上加速的时间和位移，再由位移关系求出匀速运动的位移和时间；最后由牛顿第二定律求出游船向下加速的时间，求出三段时间的和即可；
（2）由瞬时功率的表达式分别写出动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率，再求出它们的比值即可．

解答 解：（1）游船向上加速的过程中设加速度为a₁，由牛顿第二定律得：
μ₁mgcos30°-mgsin30°=ma₁
代入数据得：a₁=2.5m/s²
从静止至游船的速度与主动轮的速度相等的时间t₁，向上的位移为x₁，由运动学的公式有：v=a₁t₁
主动轮的线速度：v=rω=0.2×10=2m/s
联立得：t₁=0.8s
又：${x}_{1}=\frac{v}{2}•{t}_{1}=\frac{2}{2}×0.8=0.8$m
游船向上匀速直线运动位移：x₂=L₁+L₃-x₁=30+3-0.8=32.2m
匀速运动的时间：${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{v}=\frac{32.2}{2}=16.1$s
游船在右侧的轨道上做匀加速直线运动，设加速度为a2，由牛顿第二定律得：
mgsinβ-μ₂mgcosβ=ma₂
代入数据得：${a}_{2}=\frac{55}{12}m/{s}^{2}$
设加速的时间为t3，游船在右侧的轨道是发生的位移：${L}_{2}-{L}_{0}=v{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{3}^{2}$
代入数据，联立得：t₃=2.4s
所以总时间：t=t₁+t₂+t₃=0.8s+16.1s+2.4s=19.3s
（2）游船到达恒定的速率前，动力装置增加的功率为：P₁=f₁v=（μ₁mgcosα）•v
游船到达恒定的速率后动力装置提供的功率为：P₂=f₂v=mgsinα•v
所以动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比为：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}=\frac{{μ}_{1}cosα}{sinα}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×cos30°}{sin30°}=\frac{3}{2}$
答：（1）游船从轨道左侧运动到右侧底端（船头刚好触及水面）所用总时间是19.3s；
（2）动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比是$\frac{3}{2}$．

点评 该题虽然看似提供的情景比较新颖，但属于传送带问题，抓住游船向上的运动的特点分成加速阶段和匀速阶段两段，然后分别使用各自的公式进行解答是关键．