Question

（2006?宜昌模拟）如图所示，总质量为m的飞船绕地球在半径为r₁的圆轨道Ⅰ上运行，要进入半径为r₂的更高的圆轨道Ⅱ，必须先加速进入一个椭圆轨道Ⅲ，然后再进入圆轨道Ⅱ．轨道Ⅰ、Ⅲ相切于A点．已知飞船在圆轨道Ⅱ上运动速度大小为v，在A点通过发动机向后以速度大小为u（对地）喷出一定质量气体，使飞船速度增加到v’进入椭圆轨道Ⅲ．（已知量为m、r₁、r₂、v、v′、u）求：
（1）飞船在轨道Ⅰ上的速率v₁；
（2）发动机喷出气体的质量．

Answer 1

分析：（1）根据万有引力提供向心力，分别得出两圆轨道上线速度的大小关系，从而求出飞船在轨道Ⅰ上的速率．
（2）根据动量守恒定律求出发电机喷出气体的质量．

解答：解（1）飞船在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有G

Mm

r 2 1

=m

v 2 1

r1

，①
飞船在轨道Ⅱ上做匀速圆周运动，由牛顿第二定律G

Mm

r 2 2

=m

v 2

r2

，②
由①②得v=v1

r1 r2

．　　　③
（2）由题意知，飞船在喷气过程中，运动方向上动量守恒，mv₁=（m-△m）v'-△mu，④
由③④得△m=

v′-v r1 r2

v′+u

m．　　　　　　　
答：（1）飞船在轨道Ⅰ上的速率v=v1

r1 r2

．
（2）发动机喷出气体的质量△m=

v′-v r1 r2

v′+u

m．

点评：本题考查了万有引力提供向心力这一理论，以及动量守恒定律，难度中等，平时的练习中需加强训练．