Question

（2010?海淀区模拟）如图所示，在一个正方形区域abcd内存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中心O点处，垂直磁场方向射入一速度为v₀的带正电粒子，v₀与ad边垂直．已知粒子质量为m，带电量为q，正方形的边长为L，不计粒子的重力．
（1）若要使粒子能从ab边射出磁场，求v₀的大小范围；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？

Answer 1

分析：（1）粒子进入磁场中．由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得到半径公式r=

mv

qB

，粒子的速度v越大，轨迹半径r越大．粒子从ab边射出磁场时，从a点射出，轨迹半径最小，对应的速度最小，从b点射出，轨迹半径最大，对应的速度最大，根据几何关系求出半径，再由牛顿第二定律求出对应的速度，即可得到速度的范围．
（2）粒子在磁场中运动的周期T=

2πm

qB

，运动时间t=

θ

2π

T，θ是轨迹所对应的圆心角，T是一定的，θ越大，t越大，当θ最大时，t最长．由图知，θ最大为π，则知最长时间为

1

2

T．

解答：解：（1）当粒子从a点射出时，轨迹半径最小，设为r₁．对应的速度最小，设为v₁．当粒子从从b点射出时，轨迹半径最大，设为r₂．对应的速度最大，设为v₂．
根据几何关系得：r₁=

1

4

L，

r

2 2

=L²+(r2-

1

2

L)2
则得 r₂=

5

4

L
根据牛顿第二定律得：qvB=m

v2

r

则得v=

qBr

m

故有v₁=

qBL

4m

，v₂=

5qBL

4m

所以要使粒子能从ab边射出磁场，v₀的大小范围为

qBL

4m

≤v₀≤，5qBL4m
（2）粒子运动周期为 T=

2πm

qB

当粒子从oa边射出时，转过的圆心角最大，为π．故粒子在磁场中运动的最长时间为t=

1

2

T=

πm

qB

．
答：
（1）要使粒子能从ab边射出磁场，v₀的大小范围为

qBL

4m

≤v₀≤

5qBL

4m

．
（2）粒子在磁场中运动的最长时间为

πm

qB

．

点评：带电粒子在磁场中运动的类型，确定向心力来源，画出轨迹，运用牛顿第二定律列式是惯用的解题思路．平时要加强训练，才能运用自如．