Question

如图，水平放置的传送带左侧放置一个半径为R的

1

4

圆弧光滑轨道，底端与传送带相切．传送带长也为R．传送带右端接光滑的水平面，水平面上静止放置一质量为3m的小物块B．一质量为m的小物块A从圆弧轨道顶端由静止释放，经过传送带后与B发生碰撞，碰后A以碰前速率的一半反弹．A与B碰撞后马上撤去圆弧轨道．已知物块A与传送带的动摩擦因数为μ=0.5，取重力加速度为g，传送带逆时针运动的速度的取值范围为

1

4

gR

≤v≤2

gR

．

（1）求物块A第一次经过圆弧低端时对圆弧轨道的压力大小；
（2）求物块A与B碰撞后B的速度；
（3）讨论一下传送带速度取不同值时，物块A、B碰撞后的运动过程中传送带对物块A做功的大小．

Answer 1

分析：（1）物体A下滑的过程中，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律求出物块A第一次经过圆弧低端时的速度．经过最低点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出轨道对A的支持力，再由牛顿第三定律求得物块对圆弧轨道的压力大小．
（2）根据动能定理求出A与B碰撞前的速度．两物碰撞过程，遵守动量守恒定律，可列式求出碰后A的速度和B的速度．
（3）分情况进行讨论，运用动能定理求解碰撞后的运动过程中传送带对物块A做功的大小．

解答：解：（1）A下滑过程，根据机械能守恒定律得：

1

2

mAv12-0=mAgR
在最低点时有牛顿第二定律有：F_N-m_Ag=

mAv21

R

解得：F_N=3m_Ag
据牛顿第三定律有：物块A第一次经过圆弧低端时对圆弧轨道的压力大小是3m_Ag．
（2）A从传送带左端滑至右端，有

1

2

mAv22-

1

2

mAv12=-μmAgR
解得：v2=

gR

A与B发生碰撞，有m_Av₂+0=m_Av_A+m_Bv_B；
由题意知：vA=-

gR

2

解得B碰后的速度大小为vB=

gR

2

，方向水平向右．
（3）A碰后从传送带右端往左运动，传送带速度为

gR

4

≤v≤2

gR

．
①若传送带速度为v=

gR

2

，物块A匀速运动，传送带对物块做功为W=0；  
②当传送带的速度为

gR

4

≤v＜

gR

2

时，物块A滑上传送带后减速，
若物块一直减速，则A的最后速度为v_A′，则有

1

2

mAvA′2-

1

2

mAvA2=-μmAgR
得：vA′2＜0，不符合题意．
因此物块不能一直减速，只能先减速后与传送带达到共同速度v后匀速，
则传送带对A做功为W，有

1

2

mAv2-

1

2

mAvA2=W
解得：W=

1

2

mv2-

1

8

mgR（

gR

4

≤v＜

gR

2

）
③当传送带的速度为

gR

2

＜v≤2

gR

时，物块A滑上传送带后加速
若物块能一直加速，则物块最终的速度为v_A″则

1

2

mAvA′′2-

1

2

mAvA2=μmAgR
解得：vA″=

5gR

2

i：若传送带的速度

5gR

2

＜v≤2

gR

时，物块一直加速度，不会有共速，摩擦力一直存在，则传送带摩擦力做的功为 W=μm_AgR=0.5mgR；
ii：若传送带的速度

gR

2

＜v≤

5gR

2

时，物块A先加速，后与传送带达到共同速度，即A的末速度为传送带的速度v，由动能定理得：
 

1

2

mAv2-

1

2

mAvA2=W，即 W=

1

2

mv2-

1

8

mgR（

gR

2

＜v≤

5gR

2

）              
综上所述，A碰后，传送带对物块A做的功为：
  W=

1 2 mv2- 1 8 mgR ( gR 4 ≤v＜ gR 2 ) 0   (v= gR 2 ) 1 2 mv2- 1 8 mgR ( gR 2 ＜v＜ 5gR 2 0.5mgR ( 5gR 2 ≤v＜2 gR )

答：
（1）物块A第一次经过圆弧低端时对圆弧轨道的压力大小是3m_Ag；
（2）物块A与B碰撞后B的速度是

gR

2

，方向水平向右．
（3）物块A、B碰撞后的运动过程中传送带对物块A做功的大小为：
 W=

1 2 mv2- 1 8 mgR ( gR 4 ≤v＜ gR 2 ) 0   (v= gR 2 ) 1 2 mv2- 1 8 mgR ( gR 2 ＜v＜ 5gR 2 0.5mgR ( 5gR 2 ≤v＜2 gR )

．

点评：弄清楚物体的运动过程和受力情况是解题关键，并把握住每个过程的规律：①物块沿光滑圆弧下滑的过程，机械能守恒；②物块在传送带上做匀减速直线运动．③碰撞过程遵守动量守恒定律．