题目内容
7．
如图所示，在水平平行正对金属板MN间有匀强电场，M板带负电，N板带正电．在M板上有一小孔O（孔略大于带电粒子大小），一比荷为8.0×105C/kg的粒子从O的正下方贴近N板处的P点，在电场力作用下由静止开始运动，通过孔O进入M板上方空间．在M板上方为以O为圆心，以R=0.1m为半径的半圆形区域I内，有磁感应强度为B1=0.5T的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，在M板上方、区域I外的区域II中分布有磁感应强度为B2的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里（不计粒子所受重力）．（1）若粒子能进入区域Ⅱ，求MN两板间电压U的范围；
（2）以O为原点，沿M板水平向右为x轴正方向，建立平面直角坐标系xoy．求当MN两板间电压U1=1.0×103V时，粒子从区域Ⅰ进入区域Ⅱ时在边界上的位置坐标；
（3）调节电压至U2=4.0×103V时发现粒子恰经过O点回到出发点P，求B2的值．
分析 （1）粒子进入磁场I内做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，要使粒子能进入区域Ⅱ，须有 r＞$\frac{1}{2}$R．再根据洛伦兹力提供向心力列式求解粒子速度范围，由动能定理求电压U的范围．
（2）当MN两板间电压U1=1.0×103V时，由动能定理和牛顿第二定律求出粒子的轨迹半径，由几何知识求粒子从区域Ⅰ进入区域Ⅱ时在边界上的位置坐标；
（3）U2=4.0×103V时粒子恰经过O点回到出发点P，先求轨迹半径，画出轨迹图，由对称性和数学知识结合求解B2的值．
解答 
解：（1）设粒子在区域 I内做匀速圆周运动的速率为v，轨迹半径为r，粒子能进入区域Ⅱ，则r＞$\frac{1}{2}$R，又：
qvB1=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 r=$\frac{mv}{q{B}_{1}}$
在电场中，由动能定理得 qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立解得MN板间电压 U＞$\frac{{R}^{2}q{B}_{1}^{2}}{8m}$
即 U＞250V
（2）当U1=1.0×103V时，由
r1=$\frac{m{v}_{1}}{q{B}_{1}}$
及 qU1=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得轨迹半径 r1=0.1m
粒子轨迹如图，由几何关系可知△OO1A为等边三角形，
故粒子从区域Ⅰ进入区域Ⅱ时在边界上的位置坐标：x1=$\frac{1}{20}$m；y1=$\frac{\sqrt{3}}{20}$m，即A的位置坐标为（$\frac{1}{20}$m，$\frac{\sqrt{3}}{20}$m）
（3）若U2=4.0×103V时，由
r2=$\frac{m{v}_{2}}{q{B}_{1}}$
及 qU2=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得 r2=0.2m；
粒子轨迹由对称性如图所示，设轨迹交于边界坐标为（x2，y2），则
$（{r}_{2}-{x}_{2}）^{2}$+${y}_{2}^{2}$=${r}_{2}^{2}$
${x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}={R}^{2}$
解得：x2=$\frac{1}{40}$m
设粒子在区域Ⅱ内做匀速圆周运动的轨迹半径为r0
则 $\frac{{x}_{2}}{{r}_{2}}$=$\frac{{r}_{0}}{{r}_{2}+{r}_{0}}$
可得 r0=$\frac{{r}_{2}}{7}$
又 $\frac{{r}_{0}}{{r}_{2}}$=$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$
解得 B2=7B1=3.5T
答：
（1）若粒子能进入区域Ⅱ，MN两板间电压U的范围为U＞250V．
（2）粒子从区域Ⅰ进入区域Ⅱ时在边界上的位置坐标为（$\frac{1}{20}$m，$\frac{\sqrt{3}}{20}$m）．
（3）B2的值为3.5T．
点评 分析清楚离子运动过程、作出其运动轨迹是正确解题题的前提与关键，要熟练推导粒子圆周运动的半径公式，运用几何知识解决轨迹问题．
期末100分闯关海淀考王系列答案
小学能力测试卷系列答案| A． | 16个中子，8个质子 | B． | 8个中子，16个质子 | ||
| C． | 24个中子，8个质子 | D． | 8个中子，24个质子 |
a、b是x轴上的两个点电荷，电荷量分别为Q1和Q2，沿x轴a、b之间各点对应的电势高低如图中曲线所示，P为电势最低点，从图中可看出以下说法中正确的是（ ）| A． | a和b一定都是正电荷，且a的电量小于b的电量 | |
| B． | 电势最低的P点的电场强度为零 | |
| C． | A、B间各点的电场方向相同 | |
| D． | 把带负电的检验电荷沿x轴由A移到B的过程中，电场力对该电荷先做正功后做负功 |
如图所示，质量为2M的小车A静止在光滑水平桌面上，质量为3M的物体B静置于A车车厢内，B左端用轻弹簧与A车连接，弹簧劲度系数为k且水平，处于原长，小车底面光滑．质量为M的小车C以速度v0向小车A滑过去，并在与小车A碰撞后立即与A车粘连，整个过程中B始终不与车厢侧壁碰撞．求之后的运动过程中弹簧的最大长度与最短长度之差．（弹簧弹性势能表达式为Ep=$\frac{1}{2}$kx2，x为弹簧形变量）．| A． | 链式反应在任何条件下都能发生 | |
| B． | 核反应过程中如果核子的平均质量减小，则要吸收核能 | |
| C． | 中等核的比结合能最小，因此这些核是最稳定的 | |
| D． | 光子的能量与动量成正比关系 |
如图所示是某空间部分电场线分布图，在电场中取一点O，以O为圆心的圆周上有M、Q、N三个点，连线MON与直电场线重合，连线OQ垂直于MON．下列说法正确的是（ ）| A． | M点的场强小于N点的场强 | |
| B． | O点的电势等于Q点的电势 | |
| C． | 将一负点电荷由M点移到Q点，电荷的电势能增加 | |
| D． | 一正点电荷只受电场力作用能从Q点沿圆周运动至N点 |
如图1所示，一倾角为37°的传送带以恒定速度运行．现将一质量m=1kg的小物体放上传送带，物体相对地面的速度随时间变化的关系如图2所示，取沿传送带向上为正方向，g取10m/s2，sin 37°=0.6，cos37°=0.8．求：