Question

14．如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图．在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场Ⅰ和Ⅱ，两电场的边界均是边长为L的正方形（不计电子所受重力）．
（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子在ABCD区域内运动经历的时间和电子离开ABCD区域的位置；
（2）在电场Ⅰ区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置．

Answer 1

分析 （1）在AB边的中点处由静止释放电子，电场力对电子做正功，根据动能定理求出电子穿过电场时的速度．进入电场II后电子做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律求出电子的加速度，由运动学公式结合求出电子离开ABCD区域的位置坐标．
（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子先在电场Ⅰ中做匀加速直线运动，进入电场Ⅱ后做类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出位置x与y的关系式

解答 解：（1）电子在区域I中做初速度为零的匀加速直线运动，
根据动能定理可得：eEL=$\frac{1}{2}$mv²∴离开区域I时的速度为v=$\sqrt{\frac{2eEL}{m}}$ 
电子通过区域I的时间为t₁=$\frac{2L}{v}$=$\sqrt{\frac{2mL}{E}}$  
电子在区域Ⅱ中匀速运动，通过时用时间为t₂=$\frac{L}{v}$=$\sqrt{\frac{mL}{2E}}$ 
进入区域Ⅲ时电子做类平抛运动，假设电子能穿过CD边，则：
电子在区域Ⅲ运动时间t₃=t₂=$\frac{L}{v}$=$\sqrt{\frac{mL}{2E}}$
在沿y轴方向上根据牛顿第二定律可得：eE=ma   
y轴方向上运动的位移为△y=$\frac{1}{2}$at₃²=$\frac{L}{4}$＜$\frac{L}{2}$，显然假设成立． 
电子在ABCD区域内运动经历时间为t=t₁+t₂+t₃=2$\sqrt{\frac{2mL}{E}}$
电子离开时的位移坐标为x=-2L，y=$\frac{L}{2}$-△y=$\frac{L}{4}$     
（2）假设释放的位置坐标为（x，y）
在区域I中有：eEL=$\frac{1}{2}$mv²
在区域Ⅲ中有：t=$\frac{L}{v}$          
所以y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{eE{L}^{2}}{2m{v}^{2}}$=$\frac{{L}^{2}}{4x}$       
所以这些位置在双曲线y=$\frac{{L}^{2}}{4x}$  上
答：（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，电子在ABCD区域内运动经历的时间为$2\sqrt{\frac{2mL}{E}}$，电子离开ABCD区域的位置为（-2L，$\frac{L}{4}$）；
（2）在电场Ⅰ区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，所有释放点的位置为在双曲线y=$\frac{{L}^{2}}{4x}$上

点评 本题实际是加速电场与偏转电场的组合，考查分析带电粒子运动情况的能力和处理较为复杂的力电综合题的能力