Question

9．天文工作者观测某行星的半径为R₁，自转周期为T₁，它有一颗卫星，轨道半径为R₂，绕行星公转周期为T₂．则
（1）该行星的平均密度为多大？
（2）要在此行星的赤道上发射一颗同步人造卫星，使其轨道在赤道上方，则该人造卫星的轨道半径为多大？
（3）该行星的第一宇宙速度是多少？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供卫星圆周运动的向心力，可以列式求出行星的质量M，进一步求其密度；
（2）该行星的同步卫星的周期与该行星的自转周期相同，根据万有引力提供向心力及速度与周期的关系式，以及第一问中求出行星质量M，化简可得该人造卫星的轨道半径．
（3）根据万有引力提供向心力及线速度的关系式计算行星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）设该行星的质量为M，卫星的质量为m，则对卫星有：$G\frac{Mm}{R_2^2}=m{（\frac{2π}{T_2}）^2}{R_2}$
得行星的质量为：$M=\frac{{4{π^2}R_2^3}}{GT_2^2}$
行星的体积为$V=\frac{4}{3}πR_1^3$
所以该行星的平均密度为$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3πR_2^3}{GT_2^2R_1^3}$
（2）设该卫星的同步人造卫星的轨道半径为r，有$G\frac{Mm'}{r^2}=m'{（\frac{2π}{T_1}）^2}r$
解得该人造卫星的轨道半径$r=\root{3}{{\frac{T_1^2}{T_2^2}}}{R_2}$
（3）设该星球的第一宇宙速度为v，则
由$G\frac{Mm}{{R}_{1}{\;}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$    
解得  v=$\sqrt{G\frac{M}{{R}_{1}}}$
在根据行星的质量为：$M=\frac{{4{π^2}R_2^3}}{GT_2^2}$
解得  v=$\frac{2π{R}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}\sqrt{\frac{{R}_{2}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}}$
答：（1）该行星的平均密度为$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}{R}_{1}^{3}}$；
（2）人造卫星的轨道半径为$\root{3}{\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}_{2}^{2}}}{R}_{2}$；
（3）该行星的第一宇宙速度是$\frac{2π{R}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}\sqrt{\frac{{R}_{2}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}}$．

点评 解决本题的关键是根据万有引力提供向心力、同步卫星的条件：同步卫星的周期等于行星的自转周期，即可进行求解．