Question

3．如图所示，光滑半圆轨道竖直放置，半径为R，其底部与水平轨道相接，已知C点处切线水平．质量为m的小球从水平轨道上O点（图中未画出），以水平速度$v=3\sqrt{gR}$开始运动，小球经圆轨道到达C点后，继续运动到距C的水平距离为R的D点时，距水平轨道的高度为$h=\frac{3}{2}R$．不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球运动到最高点C时的速度大小为多少．
（2）小球从O到B的运动过程中克服摩擦力做的功．
（3）小球刚运动到B点时对圆轨道的压力大小．

Answer 1

分析 （1）小球离开C点后做平抛运动，由两个分位移公式结合求解．
（2）小球从O到C的过程，运用动能定理求小球从O到B的运动过程中克服摩擦力做的功．
（3）小球从B到C的过程，由动能定理求B点的速度，再由牛顿运动定律求压力．

解答 解：（1）小球离开C点后做平抛运动，则
  2R-h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  R=v_Ct
解得 v_C=$\sqrt{gR}$
（2）小球从O到C的过程，运用动能定理得
-W_f-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 W_f=2mgR
（3）小球从B到C的过程，由动能定理得
-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B点，由牛顿第二定律得
  F_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得 F_B=6mg
由牛顿第三定律可得，小球刚运动到B点时对圆轨道的压力大小 F_B′=F_B=6mg
答：
（1）小球运动到最高点C时的速度大小为$\sqrt{gR}$．
（2）小球从O到B的运动过程中克服摩擦力做的功是2mgR．
（3）小球刚运动到B点时对圆轨道的压力大小是6mg．

点评 本题是动能定理与平抛运动的综合，动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．一个题目可能需要选择不同的过程多次运用动能定理研究．