Question

18．U形管内充有空气，在其管口将质量均为m的两个活塞用外力维持在同一高度h处，如图所示．左管横截面积为2S，右管以及底部管的横截面积均为S，底部管的长度为3h，管内空气压强等于大气压p₀．现撤消外力放开活塞，求两个活塞的稳定高度．（不计活塞与管壁间的摩擦，且活塞的厚度大于水平管的直径；管内气体温度不变；初位置时，活塞的上表面与管口相平齐）

Answer 1

分析 根据题意先分析两活塞在什么位置可以平衡，再分别假设左右的高度，由玻意耳定律可求得两端的高度．

解答 解：为了判断哪个活塞先达到平衡，分别假设左右两个活塞在接触底部前就平衡了，则可得到   
左边：p₂S=p₀×2S+mg，
所以，p=p₀+$\frac{mg}{2S}$．
右边：pS=p₀S+mg，所以，p=p₀+$\frac{mg}{S}$．
显然是左端首先达到平衡，左端活塞在达到平衡后就不再下落，而右端活塞继续下落．随着右端活塞下落，左端活塞上升至稳定位置．稳定后右端活塞静止在U形管的底部．
设左端活塞平衡时距底部x高，则有
p₁=p₀，V₁=h×2S+hS+3hS=6hS．（释放活塞前）
p₂=p₀+$\frac{mg}{2S}$，V₂=x₂S+3hS．
活塞稳定后） 由于气体做等温变化，满足玻意耳定律，有  p₁V₁=p₂V₂  
 所以
解得左侧高度：
 x=$\frac{6{P}_{0}hs-3mgh}{4{P}_{0}s+2mg}$ 
 右测为x ₂=0
答：左侧距底部为：$\frac{6{P}_{0}hs-3mgh}{4{P}_{0}s+2mg}$；右侧为0．

点评 本题考查玻意耳定律的应用及压强的计算，要注意首先明确两端的活塞可能平衡的位置，然后才能分析压强和体积，由理想气体的实验定律进行分析求解．