Question

9．如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为-q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力． 
（1）微粒在磁场中从P点出发只穿过一次虚线边界就可以打到Q点，求微粒的速度大小及从P到Q所用的时间．
（2）若向里磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，求其速度的最大值．
（3）若向里磁场没有外边界，微粒从P点能到Q点，求微粒的运动速度大小及运动时间．

Answer 1

分析 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，作出粒子的运动轨迹，由几何知识求出粒子的轨道半径，求出粒子转过的圆心角，应用牛顿第二定律可以求出粒子的速度，根据粒子做圆周运动的周期公式与粒子运动过程、转过的圆心角求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）粒子只穿过一次边界的轨迹如图所示：
由几何知识可得：r=R，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，
解得：v₁=$\frac{qBR}{m}$，
粒子运动时间：t=T=$\frac{2πm}{qB}$；
（2）速度V越大，对应的轨道半径越大，穿过边界的次数越少，
由几何关系，得不超出边界的最大半径轨迹如图，对应的速度最大．
由几何知识得：tan30°=$\frac{{r}_{2}}{R}$，
由牛顿第二定律得：qv_mB=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{{r}_{2}}$，解得：v_m=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$；
（3）粒子的运动轨迹将磁场边界分成n等分（n=2，3，4…），
由几何知识可得：θ=$\frac{π}{2n}$，tanθ=$\frac{r}{R}$，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：v₀=$\frac{qBR}{m}$tan$\frac{π}{2n}$  （n=2、3、4…）
当n为偶数时，由对称性可得：t=$\frac{n}{2}$T=$\frac{nπm}{qB}$ （n=2、4、6…）
当n为奇数时，t为周期的整数倍加上第一段的运动时间，即
t=$\frac{n-1}{2}$T+$\frac{π+\frac{π}{n}}{2π}$T=$\frac{（{n}^{2}+1）πm}{nqB}$  （n=3、5、7…）；
答：（1）微粒的速度大小为$\frac{qBR}{m}$，从P到Q所用的时间为$\frac{2πm}{qB}$．
（2）其速度的最大值为$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$．
（3）微粒的运动速度大小为$\frac{qBR}{m}$tan$\frac{π}{2n}$  （n=2、3、4…），运动时间为$\frac{nπm}{qB}$ （n=2、4、6…）或$\frac{（{n}^{2}+1）πm}{nqB}$  （n=3、5、7…）．

点评 运动轨迹的特殊性研究到一般性探究，这是分析问题的一种方法．同时要利用圆的特性与物理规律相结合．本题是一道难题，根据题意作出粒子的运动轨迹是本题解题的难点，也是正确解题的关键．