Question

11．光滑的半圆形竖直轨道，其圆心与墙在同一竖直平面内，轨道的下端与水平相切，水平面高出地面H=2R，如图所示，一小球沿水平方向进入半圆形轨道下端，小球沿轨道运动的过程中对轨道的压力的大小和小球与圆心的连线同竖直方向的夹角θ满足关系式F=k+kcosθ，其中k为常数，求：
（1）常数k的大小；
（2）小球落地点到竖直墙的水平距离L．

Answer 1

分析 （1）对圆弧上任一点分析，由向心力公式及动能定理可得出F的表达式，则由求得K值；
（2）对全程由动能定理及平抛运动规律可求得水平距离．

解答 解：在圆弧上任取一点A，对小球在A点受力分析，由向心力公式可得：F-mgcosθ=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
对从最低点到A过程，由动能定理可得：
-mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv₀²
联立解得：
F=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}-2mg+3mgcosθ$
由题意可知：
F=k+kcosθ
故k=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$-2mg=3mg
故可知：k=3mg；
v₀=$\sqrt{5gR}$
（2）从最低点到最高点，由动能定理可得：
-2mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v_B=$\sqrt{gR}$
由平抛运动规律可知：
H+2R=$\frac{1}{2}$gt²
x=v_Bt
解得：x=2$\sqrt{2}$R
答：（1）常数k的大小为$\sqrt{5gR}$；
（2）小球落地点到竖直墙的水平距离为2$\sqrt{2}$R．

点评 本题考查动能定理、平抛运动规律和向心力公式，要求能明确通式的书写，并正确应用平抛及向心力公式等于分析求解．