题目内容
（2012?南通二模）如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一质量m=0.2kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v0向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s2．（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？
（2）若v0=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N=2N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v0=3m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？
分析：（1）紧贴外圆做圆周运动，在最高点的临界情况是重力提供向心力，根据牛顿第二定律结合机械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根据牛顿第二定律求出最高点的速度大小，根据动能定理求出克服摩擦力做功的大小．
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，根据动能定理和牛顿第二定律求出最低点小球所受的支持力大小，根据能量守恒求出损失的机械能．
（2）根据牛顿第二定律求出最高点的速度大小，根据动能定理求出克服摩擦力做功的大小．
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，根据动能定理和牛顿第二定律求出最低点小球所受的支持力大小，根据能量守恒求出损失的机械能．
解答：解：（1）设此情形下小球到达最高点的最小速度为vC，则有
mg=m
mv02=
mvc2+2mgR
代入数据解得v0=
m/s=3.16m/s．
（2）设此时小球到达最高点的速度为vc′，克服摩擦力做的功为W，则
mg-N=m
-2mgR-W=
mvc′2-
mv02
代入数据解得 W=0.1J．
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，设小球经过最低点的速度为vA，受到的支持力为NA，则有
mgR=
mvA2
NA-mg=m
代入数据解得 NA=6N．
设小球在整个运动过程中减少的机械能为△E，由功能关系有
△E=
mv02-mgR
代入数据解得△E=0.5J．
答：（1）要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为3.16m/s．
（2）小球在这段时间内克服摩擦力做的功是0.1J．
（3）小球经过最低点A时受到的支持力为6N，小球在整个运动过程中减少的机械能是0.5J．
mg=m
| vc2 |
| R |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
代入数据解得v0=
| 10 |
（2）设此时小球到达最高点的速度为vc′，克服摩擦力做的功为W，则
mg-N=m
| vc′2 |
| R |
-2mgR-W=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
代入数据解得 W=0.1J．
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，设小球经过最低点的速度为vA，受到的支持力为NA，则有
mgR=
| 1 |
| 2 |
NA-mg=m
| vA2 |
| R |
代入数据解得 NA=6N．
设小球在整个运动过程中减少的机械能为△E，由功能关系有
△E=
| 1 |
| 2 |
代入数据解得△E=0.5J．
答：（1）要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为3.16m/s．
（2）小球在这段时间内克服摩擦力做的功是0.1J．
（3）小球经过最低点A时受到的支持力为6N，小球在整个运动过程中减少的机械能是0.5J．
点评：本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律和机械能守恒定律，综合性较强，关键是理清运动过程，抓住临界状态，运用合适的规律进行求解．
练习册系列答案
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