Question

如图所示，质量为m的小球用长度为L的轻质细绳悬挂于O点，现将它拉至A处，使细绳与竖直方向的夹角为θ（θ＜5°），然后无初速释放，不计空气阻力作用，它经过一段时间第一次到达最低点B．
求：（1）所经历的时间t
（2）该过程中重力产生的冲量大小I_G
（3）该过程中小球的动量变化△P
（4）该过程中绳的拉力产生的冲量大小I_F．

Answer 1

分析：1、由A到B做简谐运动，由A第一次到B，小球所用时间是四分之一周期，根据单摆的周期公式可求得时间．
2、重力是恒力，故可以直接运用冲量的定义式计算：I_G=mgt，把上一问中的时间代入即可．
3、从A到B，运用动能定理

1

2

m

v

2 B

=mgL（1-cosθ），计算出到达B点的速度v，再根据：△P=P_B-P_A=mv计算即可．
4、从A到B的过程中，根据动量定理有

IG

+

IF

=

△P

．动量的改变量方向水平，重力的冲量方向向下，所以I_G、I_F、△P刚好构成直角三角形，I_G、△P为两个直角边，I_F为斜边，根据勾股定理有IF2=△P2+IG2，代入数据计算即可．

解答：解：（1）由单摆的周期公式可得：
T=2π

L g

--------------------------------①
由A第一次到B，小球所用时间是四分之一周期，即：t=

1

4

T=

π

2

L g

------②
（2）由于重力是恒力，由冲量定义可知重力的冲量为：I_G=mgt=

1

2

πm

Lg

----------------③
（3）动量的变化等于末动量减去初动量：△P=P_B-P_{A------------------------------}④
又P_A=0--------------------------------⑤
P_B=mv_B---------------------------------⑥
从A到B的过程中，由机械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 B

=mgL（1-cosθ）--------------⑦
由④⑤⑥⑦，可解得：△P=m

2gL(1-cosθ)

------------------⑧
（1）从A到B的过程中，小球在重力和绳的拉力的冲量作用下，动量的改变量为△P，且方向水平，又因重力的冲量方向向下，所以由矢量的合成法则得：
IF2=△P2+IG2----------------------------⑨
由③⑧⑨式得：I_F=m

2gL(1-cosθ)+ π2 4 gL

．
答：（1）所经历的时间t为

π

2

L g

．
（2）该过程中重力产生的冲量大小I_G为

1

2

πm

Lg

．
（3）该过程中小球的动量变化△P为m

2gL(1-cosθ)

．
（4）该过程中绳的拉力产生的冲量大小I_F为m

2gL(1-cosθ)+ π2 4 gL

．

点评：本题的关键是要知道小球在重力和绳的拉力的冲量作用下，动量的改变量方向水平，重力的冲量方向向下，所以I_G、I_F、△P刚好构成直角三角形，I_G、△P为两个直角边，I_F为斜边，根据勾股定理有IF2=△P2+IG2．