Question

4．如图所示，水平放置的轻弹簧左端固定，小物块P（可视为质点）置于水平桌面上的A点，并与弹簧右端接触，此时弹簧处于原长．现用水平向左的推力将P缓慢地推至B点，此时弹簧的弹性势能为E_p=28J．撤去推力后，P沿桌面滑到一个上表面与桌面等高且静止在光滑水平地面上的长木板Q上，已知P、Q的质量均为m=2kg，A、B间的距离L₁=4m，A距桌子边缘C的距离L₂=2m，P与桌面及P与Q间的动摩擦因数都为μ=0.1，g取10m/s²，求
（1）P刚滑到Q上时的速度大小；
（2）当Q的长度为3m时，试通过计算说明P是否会滑离Q．若不会滑离，则求出P、Q的共同速度大小；若会滑离，则求出当P滑离Q时，P和Q的速度各为多大？

Answer 1

分析 （1）用水平向左的推力缓慢压缩弹簧，弹簧获得的弹性势能等于推力做的功．当弹簧完全推开物块P时弹簧的弹性势能转化为物块P的动能，可得到物块P的速度．P、Q发生弹性碰撞，动量守恒，机械能也守恒，可求得碰撞后两滑块的速度大小．
（2）滑块Q在小车上滑行，做匀减速运动，小车做匀加速运动，当两者速度相等时，滑块Q相对小车滑行的位移大小等于车子的最小长度．根据牛顿第二定律和速度公式求出速度相等时所需要的时间，再由位移公式求解相对位移，即可得到小车的最小长度．

解答 解：（1）物体从P到C的过程中，弹簧的弹力做功，摩擦力做功：
${E}_{P}-μmg（{L}_{1}+{L}_{2}）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-0$
代入数据得：v_C=4m/s，
（2）若P、Q最终具有共同速度，选择向右为正方向，则：
mv_C=2mv
所以：v=2m/s
此时若P在Q上滑动的长度为s，则根据能量守恒定律得：
$μmgs=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$
代入数据得：s=4m＞L
所以P将从Q上滑落
设P从Q上滑落时的速度是v_p，Q的速度是v_Q，根据动量守恒定律和能量守恒定律得：
mv_C=mv_P+mv_Q
$μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$，
根据以上两式解得：v_P=3m/s，v_Q=1m/s，或v′_P=1m/s，v_′Q=3m/s（舍去）
答：（1）P刚在Q上滑行时的初速度v₀为4m/s．（2）当P滑离Q时，P和Q的速度分别是3m/s和1m/s．

点评 本题是含有弹性碰撞的过程，运用牛顿第二定律、运动学公式和动量守恒定律、机械能守恒等知识研究，难点是分析滑块刚好不从小车上滑下的临界条件：两者速度相等，相对位移等于车长．