如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图.其下半部AB是一长为2R的竖直细管.上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管.管口沿水平方向.AB管内有一原长为R.下端固定的轻质弹簧．投饵时.每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定.在弹簧上段放置一粒鱼饵.解除锁定.弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C时.对管壁的作用� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上段放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g．求：
（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v₁；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_P；
（3）已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO^-在90°角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在$\frac{2}{3}m$到m之间变化，且均能落到水面．持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？

分析（1）鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，有牛顿第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，所以鱼饵增加的机械能都是弹簧做功的结果，由功能关系知道弹簧具有的弹性势能等于鱼饵增加的机械能．
（3）分别求出质量是m和$\frac{2}{3}m$的鱼饵离开C时的速度，再利用平抛运动规律求出落到水平面到转轴之间的距离，转轴转过90°时，鱼饵在水平面形成两个$\frac{1}{4}$圆面积，中间夹的环形面积即为所求．

解答解：（1）在C点，由牛顿第二定律：$mg=m\frac{{{v_1}^2}}{R}$
可得 ${v_1}=\sqrt{gR}$
（2）从弹簧释放到最高点C的过程中，根据动能定理有：
${W_F}+{W_G}=\frac{1}{2}m{v_1}^2-0$
则得弹簧的弹力做功 ${W_F}-mg（2.5R）=\frac{1}{2}m{（\sqrt{gR}）^2}-0$
解得 W_F=3mgR
故弹簧压缩到0.5R时的弹性势能 E_P=W_F=3mgR
（3）鱼饵离开管口C后做平抛运动，平抛运动的时间为 $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×4.5R}{g}}=3\sqrt{\frac{R}{g}}$
鱼饵的质量为m时，水平射程为：x₁=v₁t=3R
鱼饵的质量为$\frac{2}{3}m$时，根据动能定理得
W_F-$\frac{2}{3}mg$•（2.5R）=$\frac{1}{2}（\frac{2}{3}m）v{′}^{2}$-0
解得 v′=2$\sqrt{gR}$
水平射程 x₂=v′t=6R
r₁=x₁+r=4R，r₂=x₂+r=7R
故鱼饵能够落到水面的最大面积 $s=\frac{1}{4}（π{r_2}^2-π{r_1}^2）$
解得 s=8.25πR²．
答：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v₁是$\sqrt{gR}$．
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_P是3mgR．
（3）鱼饵能够落到水面的最大面积S是8.25πR²．

点评本题考查了圆周运动最高点的动力学方程和平抛运动规律，转轴转过90°鱼饵在水平面上形成圆周是解决问题的关键．

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	A．	为了解释光电效应现象，爱因斯坦建立了光子说，指出在光电效应现象中，光电子的最大初动能与照射光的频率成线性关系
	B．	${\;}_{92}^{235}$U在中子轰击下生成${\;}_{38}^{94}$Sr和${\;}_{54}^{140}$Xe的过程中，原子核中的平均核子质量变大
	C．	按照玻尔理论，氢原子核外电子从半径较小的轨道跃迁到半径较大的轨道时，电子的动能减小，原子的能量也减小了
	D．	${\;}_{90}^{232}$Th经过6次α衰变和4次β衰变后成为稳定的原子核${\;}_{82}^{208}$Pb

	A．	电量不变距离加倍时，作用力变为4F
	B．	其中一个电荷的电量和两电荷间距都减半时，作用力不变
	C．	每个电荷的电量和两电荷间距减半时，作用力为4F
	D．	每个电荷的电量和两电荷间距都增加相同倍数时，作用力不变

	A．	乙为“或”门，输出为“1”		B．	乙为“与”门，输出为“0”
	C．	甲为“非”门，输出为“1”		D．	丙为“与”门，输出为“1”

	A．	“21时52分”表示“时间间隔”，“6小时”表示“时间”
	B．	卫星绕地球飞行一圈，它的位移和路程都为0
	C．	卫星绕地球飞行一圈平均速度为0，但它在每一时刻的瞬时速度都不为0
	D．	地面卫星控制中心在对飞船进行飞行姿态调整时可以将飞船看作质点

	A．	电源的电动势为6.0V		B．	电源的内阻为12Ω
	C．	电源的短路电流为0.5A		D．	电流为0.3A时的外电阻是8Ω

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