Question

5．如图所示，传送带与地面的倾角θ=37°，从A端到B端的长度为16m，传送带以v₀=10m/s的速度沿逆时针方向转动．在传送带上端A处无初速地放置一个质量为0.5kg的煤块（可视为质点），它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
①物体从A端运动到B端所需的时间是多少？
②皮带上煤块留下的黑色轨迹长度．

Answer 1

分析 （1）物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑，当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＜tanθ，物体在重力作用下将继续加速，此后物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力，但合力沿传送带向下，物体继续加速下滑，综上可知，滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变”；根据牛顿第二定律求出两段的加速度，再根据速度时间关系求两段的时间；
（2）第一阶段炭块的速度小于皮带速度，炭块相对皮带向上移动；第二阶段，炭块的速度大于皮带速度，炭块相对皮带向下移动；根据运动学公式求解相对位移．

解答 解：（1）开始阶段，由牛顿第二定律得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₁ 　　
所以：
a₁=g（sinθ+μcosθ）=10×（0.6+0.5×0.8）=10m/s²
物体加速至与传送带速度相等时需要的时间：
t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{10}{10}$=1s
发生的位移：
x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=5m＜16m，所以物体加速到10m/s 时仍未到达B点，此时摩擦力方向改变．
第二阶段有：
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
所以：a₂=2m/s²
设第二阶段物体滑动到B的时间为t₂ ，则：
L_AB-S=vt₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²
解得：t₂=1s （负值舍去）
故物体从A端运动到B端所需的时间：
t=t₁+t₂=1s+1s=2s
（2）在B点的速度为：
v_B=v+a₂t₂=10+2×1=12m/s
第一阶段炭块的速度小于皮带速度，炭块相对皮带向上移动，炭块的位移为：
x₁=$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$×10×1²=5m
传送带的位移为10m，故炭块相对传送带上移5m；
第二阶段炭块的速度大于皮带速度，炭块相对皮带向下移动，炭块的位移为：
x₂=vt₂+$\frac{1}{2}$a₂${t}_{2}^{2}$=10×1+$\frac{1}{2}$×2×1²=11m
传送带的位移为10m，即炭块相对传送带下移1m：
故传送带表面留下黑色炭迹的长度为5m；
答：（1）物体从A端运动到B端所需的时间为2s；
（2）传送带表面留下黑色炭迹的长度为5m．

点评 从该题可以总结出，皮带传送物体所受摩擦力可能发生突变，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻．