Question

13．如图所示，x轴上方有竖直向下的匀强电场，从x轴A点（5$\sqrt{3}$h，0）处一质量为m电荷量为q的带正电粒子（不计粒子重力）以速度v₀垂直x轴进入一圆形磁场区域，速度方向指向圆形磁场的圆心，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场后，以v_B=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{2}$的速度垂直打到y轴上B点（0，h）．
（1）求匀强电场的电场强度E和圆形磁场的磁感应强度B的大小．
（2）求带电粒子从A点运动到B点的时间．

Answer 1

分析 采用逆向思维：粒子在电场中只受电场力，做类平抛运动．将速度分解，可求出粒子进入圆形磁场区域时的速度大小．根据牛顿定律求出场强E的大小．粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动．分析粒子进入磁场的速度方向与进入磁场时的速度方向相同条件，根据圆的对称性，由几何知识得到半径，周期T的表达式．大而确定磁场的磁感应强度B的大小；并由运动学公式可求出从A点运动到B点的时间；

解答 解：（1）沿着粒子运动反方向研究：粒子从B点射入电场，在电场中作类平抛运动，射出电场时，如图所示．
设射出粒子的速度与x轴的夹角为θ，由速度关系，则有：$\frac{{v}_{B}}{{v}_{0}}=cosθ$
而v_B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$v_O，所以解得：θ=30°
则${v}_{y}={v}_{0}sin30°=\frac{{v}_{0}}{2}$
在电场力的方向，根据${v}_{y}^{2}=2ah$与$a=\frac{qE}{m}$，可得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{8qh}$
在x轴方向，粒子的位移，x=v_Bt=$\frac{{v}_{y}}{a}{v}_{B}=2\sqrt{3}h$
粒子射出电场后做匀速运动后，沿着圆形磁场的半径方向射入，经过偏转后从A点射出．
粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，则有$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{R}$；
设圆周运动的半径为R，根据几何关系，可得：$（5\sqrt{3}h-2\sqrt{3}h-R）sin30°=R$
解得：R=$\sqrt{3}$h 
所以，$B=\frac{m{v}_{0}}{qR}=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qh}$
（2）粒子做类平抛的运动的时间，t₁=$\frac{{v}_{y}}{a}=\frac{\frac{{v}_{0}}{2}}{\frac{{v}_{0}^{2}}{8h}}=\frac{4h}{{v}_{0}}$；
粒子做匀速直线运动的时间为t₂，匀速运动的位移为$x=\frac{R}{tan30°}=3h$，所以时间t₂=$\frac{3h}{{v}_{0}}$；
粒子做匀速圆周运动的时间为t₃，根据入射角度，可知运动轨迹对应的圆心角为120°，则有${t}_{3}=\frac{1}{3}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2\sqrt{3}πh}{3{v}_{0}}$；
则带电粒子从A点运动到B点的时间为$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{21+2\sqrt{3}π}{3{v}_{0}}h$；
答：（1）求匀强电场的电场强度$\frac{m{v}_{0}^{2}}{8qh}$和圆形磁场的磁感应强度B的大小$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qh}$．
（2）求带电粒子从A点运动到B点的时间$\frac{21+2\sqrt{3}π}{3{v}_{0}}h$．

点评 本题带电粒子在组合场中运动，分别采用不同的方法：电场中运用运动的合成和分解，磁场中圆周运动处理的基本方法是画轨迹．采用逆向思维从而降低解题难度，这通常也是处理题目的一种方法．