Question

17．如图所示，在距水平地面高h₁=1.2m的光滑水平台面上，一个质量m=1kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存的弹性势能为E_p，现打开锁扣K，物块与弹簧分离后将以一定的水平速度向右滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道BC．已知B点距水平地面的高h₂=0.6m，圆弧轨道BC的圆心为O，0点与A点等高，C点的切线水平，并与水平地面上长为L=2.8m的粗糙直轨道CD平滑连接，小物块沿轨道BCD运动并与右边的竖直墙壁会发生碰撞，重力加速度g=10m/s²，空气阻力忽略不计．试求：
（1）小物块运动到B的瞬时速度v_B大小及弹簧开始时储存的弹性势能大小；
（2）小物块在圆弧轨道BC上滑到C时对轨道压力N的大小；
（3）若小物块与墙壁碰撞后速度反向、大小变为碰前的一半，会且只会发生一次碰撞，那么小物块与轨道CD之间的动摩擦因数μ应该满足怎样的条件．

Answer 1

分析 （1）小物块做平抛运动，根据高度求出平抛运动的时间，由速度公式求得小物块到达B点时竖直方向的速度，运用运动的分解法求解物块运动到B的瞬时速度v_B；小物块从释放到运动达到A的过程中，运用机械能守恒定律求弹簧开始时储存的弹性势能大小．
（2）先根据功能关系列式求解C点的速度，在C点，支持力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二、第三定律列式求解；
（3）根据能量守恒列出能量等式解决问题．由于物块的末位置不确定，要考虑物块可能的滑过的路程．

解答 解：（1）小物块由A运动到B的过程中做平抛运动，在竖直方向上根据自由落体运动规律可知，小物块由A运动到B的时间为：
t=$\sqrt{\frac{2（{h}_{1}-{h}_{2}）}{g}}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$s                     　
到达B点时竖直方向的速度大小为：
 v_By=gt=2$\sqrt{3}$m/s                               
根据图中几何关系可知，
  cos∠BOC=$\frac{{h}_{1}-{h}_{2}}{{h}_{1}}$
解得：cos∠BOC=60°
所以，v_B与水平方向的夹角为60°
根据平抛运动规律有：
 v_B=$\frac{{v}_{By}}{sin60°}$=4m/s                         
 v₀=v_Bcos60°=2m/s                            
小物块从释放到运动达到A的过程中，机械能守恒，有
 E_P=$\frac{1}{2}$mv₀²=2J                                 
（2）对小球从A到C的运动过程，根据能的转化与守恒可知，
  E_p+mgh₁=$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：v_C=2$\sqrt{7}$m/s，
对小球在圆弧轨道C点应用牛顿运动定律：
  N_c-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$ 
解得  N_c≈33.3N        
根据牛顿第三定律知，物块在圆弧轨道BC上滑到C时对轨道压力 N=N_c≈33.3N        
（3）依据题意知，
①μ的最大值对应的是物块撞墙前瞬间的速度刚好等于零，根据能量关系有：
mgh₁+E_p=μmgL   代入数据解得：μ=$\frac{1}{2}$
②对于μ的最小值求解，首先应判断物块第一次碰墙后反弹，能否沿圆轨道滑离B点，设物块碰前在D处的速度为v₂，由能量关系有：
  mgh₁+E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv₂²
第一次碰墙后返回至C处的动能为：E_kC=$\frac{1}{8}$mv₂²-μmgL  可知即使μ=0，有：
  $\frac{1}{2}$mv₂²=14J，$\frac{1}{8}$mv₂²=3.5J＜mgh₂=6J，小物块不可能返滑至B点      
故μ的最小值对应着物块撞后回到圆轨道最高某处，又下滑经C恰好至D点停止，因此有：
  $\frac{1}{8}$mv₂²=2μmgL，联立mgh₁+E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv₂²，解得：μ=$\frac{1}{18}$
综上可知满足题目条件的动摩擦因数μ值：$\frac{1}{18}$＜μ≤$\frac{1}{2}$
答：（1）小物块运动到B的瞬时速度v_B大小为4m/s，弹簧开始时储存的弹性势能大小2J．
（2）物块在圆弧轨道BC上滑到C时对轨道压力为33.3N．  
（3）小物块与轨道CD之间的动摩擦因数μ应该满足的条件是：$\frac{1}{18}$＜μ≤$\frac{1}{2}$．

点评 做物理问题应该先清楚研究对象的运动过程，根据运动性质利用物理规律解决问题；关于能量守恒的应用，要清楚物体运动过程中能量的转化．