Question

如图所示，质量为M的长板静置在光滑的水平面上，左侧固定一劲度系数为K且足够长的水平轻质弹簧，右侧用一根不可伸长的细绳连接于墙上（细绳张紧），细绳所能承受的最大拉力为T．让一质量为m、初速为v₀的小滑块在长板上无摩擦地对准弹簧水平向左运动．试求：
（1）在什么情况下细绳会被拉断？
（2）细绳被拉断后，长板所能获得的最大加速度多大？
（3）滑块最后离开长板时，相对地面速度恰为零的条件是什么？

Answer 1

分析：（1）假设绳子不断，当滑块速度减为零时，弹性势能最大，弹力最大，绳子的张力最大，等于弹簧的弹力；然后根据机械能守恒定律和胡克定律列式求解；
（2）当滑块与长木板速度相等时，弹力最大，加速度最大；先求解出断开时滑块速度，然后根据动量守恒和机械能守恒定律列式联立求解出共同速度，得到最大加速度．
（3）滑块与长木板分离后，速度恰好为零，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式后联立求解即可．

解答：解：（1）m对弹簧的弹力大于等于细绳的拉力T时细绳将被拉断，有：
T=kx₀    ①

1

2

mv02≥

1

2

kx02  ②
解①②式得v0≥

T

mk

（2）细绳刚断时小滑块的速度不一定为零，设为v₁，由机械能守恒有：

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

kx02
∴v1=

v02- T2 mk

    ③
当滑块和长板的速度相同时，设为v₂，弹簧的压缩量x最大，此时长板的加速度a最大，由动量守恒和机械能守恒有
mv₁=（M+m）v₂    ④

1

2

mv02=

1

2

(m+M)v22+

1

2

kx2  ⑤
kx=aM  ⑥
代入③式解④⑤⑥式得a=

1

M

m m+M (kMv02+T2)

（3）设滑块离开长板时，滑块速度为零，长板速度为v₃，由动量守恒和机械能守恒有
mv₁=Mv₃    ⑦

1

2

mv02=

1

2

Mv32  ⑧
代入③解⑦⑧式得
v0=

T

(m-M)k

（m＞M）
答：（1）当v0≥

T

mk

时细绳会被拉断；
（2）细绳被拉断后，长板所能获得的最大加速度为

1

M

m m+M (kMv02+T2)

；
（3）滑块最后离开长板时，相对地面速度恰为零的条件是v0=

T

(m-M)k

（m＞M）．

点评：本题关键要分析清楚滑块和滑板的运动规律，能结合机械能守恒定律和动量守恒定律多次列式后联立分析，较难．