Question

一玻璃立方体中心有一点状光源．今在立方体的部分表面镀上不透明薄膜，以致从光源发出的光线只经过一次折射不能透出立方体，已知该玻璃的折射率为 ，求镀膜的面积与立方体表面积之比的最小值．

Answer 1

解析　 如图，考虑从玻璃立方体中心O点发出的一条光线，假设它斜射到玻璃立方体上表面发生折射．根据折射定律有

nsin θ＝sin α                                                            ①

式中，n是玻璃的折射率，入射角等于θ，α是折射角．现假设A点是上表面面积最小的不透明薄膜边缘上的一点．由题意，在A点刚好发生全反射，故α_A＝                                                                                                             ②

设线段OA在立方体上表面的投影长为R_A，由几何关系有sin θ_A＝                                                                                                   ③

式中a为玻璃立方体的边长．由①②③式得

R_A＝                                                                                                    ④

由题给数据得R_A＝                                                                                                  ⑤

由题意，上表面所镀的面积最小的不透明薄膜应是半径为R_A的圆．所求的镀膜面积S′与玻璃立方体的表面积S之比为＝                                          ⑥

由⑤⑥得＝                                                                                             .⑦

答案