题目内容
如图（a），平行金属板A和B间的距离为d，它们的右端安放着靶MN（可金属板右侧上下移动也可在纸面内转动），现在A、B板上加上如图（b）所示的方波形电压，t=0时A板比B板的电势高，电压的正向值为U0，反向值也为U0．现有由质量为m的带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板方向OO′的速度大小为
持续不断射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，且不会与金属板相碰，不计重力影响．
求：
（1）金属板长度；
（2）粒子飞出电场时位置离O′点的距离范围；
（3）要使粒子能全部打在靶MN上，靶MN的长度至少多大？
| ||
| 3dm |
求：（1）金属板长度；
（2）粒子飞出电场时位置离O′点的距离范围；
（3）要使粒子能全部打在靶MN上，靶MN的长度至少多大？
分析：（1）由题，粒子都垂直进入电场中，平行于金属板的方向做匀速直线运动，运动时间为T，速度为v0，可求出金属板长度．
（2）粒子由t=nT时刻进入电场时，加速度向下的时间是
，加速度向上的时间是
，向下侧移最大，而当粒子由t=nT+
T时刻进入电场，向上侧移最大，由牛顿第二定律和运动学公式结合可求出向上侧移的最大值和向下侧移的最大值，即可得到范围．
（3）粒子在电场中运动时，加速度向下的时间是
，加速度向上的时间是
，所有粒子离开电场时都有相同的竖直方向的速度，粒子离开电场时速度方向相同，由分解速度可求出粒子飞出电场时速度方向与v0的夹角，结合粒子飞出电场时位置离O′点的距离范围，即可求出靶MN的长度最小值．
（2）粒子由t=nT时刻进入电场时，加速度向下的时间是
| 2T |
| 3 |
| T |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（3）粒子在电场中运动时，加速度向下的时间是
| 2T |
| 3 |
| T |
| 3 |
解答：
解：（1）金属板的长度l=v0t=
．
（2）当粒子由t=nT时刻进入电场，向下侧移最大，则
s1=
?(
)2+
?(
)?
-
(
)2=
当粒子由t=nT+
T时刻进入电场，向上侧移最大，则
s2=
(
)2=
所以，在距离O′中点下方
至上方
范围内有粒子打出．
（3）粒子在电场中运动时，加速度向下的时间是
，加速度向上的时间是
，所有粒子离开电场时都有相同的竖直方向的速度：
vy=
?
-
?
=
设粒子离开电场时速度方向与v0的夹角为θ，
则cosθ=
=
即所有的粒子平行射出电场，如下图所示，要使靶长度最小，需要将靶垂直于粒子出射方向放置
靶长最小值为 lmin=(
+
)cosθ=
答：（1）金属板长度为
；
（2）粒子飞出电场时位置离O′点的距离范围为：在距离O′中点下方
至上方
；
（3）要使粒子能全部打在靶MN上，靶MN的长度至少为
．
解：（1）金属板的长度l=v0t=
| ||
| 3dm |
（2）当粒子由t=nT时刻进入电场，向下侧移最大，则
s1=
| qU0 |
| 2dm |
| 2T |
| 3 |
| qU0 |
| dm |
| 2T |
| 3 |
| T |
| 3 |
| qU0 |
| 2dm |
| T |
| 3 |
| 7qU0T2 |
| 18dm |
当粒子由t=nT+
| 2 |
| 3 |
s2=
| qU0 |
| 2dm |
| T |
| 3 |
| qU0T2 |
| 18dm |
所以，在距离O′中点下方
| 7qU0T2 |
| 18dm |
| qU0T2 |
| 18dm |
（3）粒子在电场中运动时，加速度向下的时间是
| 2T |
| 3 |
| T |
| 3 |
vy=
| qU0 |
| md |
| 2T |
| 3 |
| qU0 |
| md |
| T |
| 3 |
| qU0T |
| 3md |
设粒子离开电场时速度方向与v0的夹角为θ，
则cosθ=
| v0 | ||
|
| ||
| 2 |
即所有的粒子平行射出电场，如下图所示，要使靶长度最小，需要将靶垂直于粒子出射方向放置
靶长最小值为 lmin=(
| 7qU0T2 |
| 18dm |
| qU0T2 |
| 18dm |
2
| ||
| 9dm |
答：（1）金属板长度为
| ||
| 3dm |
（2）粒子飞出电场时位置离O′点的距离范围为：在距离O′中点下方
| 7qU0T2 |
| 18dm |
| qU0T2 |
| 18dm |
（3）要使粒子能全部打在靶MN上，靶MN的长度至少为
2
| ||
| 9dm |
点评：本题粒子在周期性变化的电场中，要运用运动的分解法把握粒子运动的规律，也可以通过作v-t图象分析粒子在竖直方向的运动情况再求解．
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