Question

12．如图所示，一个板长为L，板间距离也是L的平行板电容器上极板带正电下极板带负电，在极板右边的空间里存在着垂直于纸面向里的匀强磁场．有一质量为m，重力不计，带电量-q的粒子从极板正中以以初速度为v₀水平射入，恰能从上极板边缘飞出又能从下极板边缘飞入，求：
（1）-q粒子飞出极板时的速度v的大小；
（2）磁感应强度B的大小和在磁场中的运动时间t．

Answer 1

分析 根据速度的合成，求出粒子飞出极板时的速度v的大小与方向；
粒子进入磁场后由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由题，恰能从上极板边缘飞出又能从下极板边缘飞入，画出轨迹，由几何知识求出轨迹半径，即可由牛顿第二定律求出B．

解答 解：（1）设粒子飞出板时水平速度为v_x，竖直速度为v_y，水平偏转角为θ，则
水平方向：v_x=v₀，
竖直方向：v_y=at=$\frac{qE}{m}$•$\frac{l}{{v}_{0}}$则tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，v=$\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$可得θ=45°，v=$\sqrt{2}$v₀
（3 ）设粒子在磁场中运动的半径为R，由几何关系易知R=$\frac{\sqrt{2}l}{2}$
由洛伦兹力提供向心力，则得qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得 B=$\frac{2m{v}_{0}}{ql}$
t=$\frac{3}{4}$T=$\frac{3}{4}$×$\frac{2πR}{{v}_{\;}}$=$\frac{3}{4}$×$\frac{2π×\frac{\sqrt{2}l}{2}}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{3πl}{4{v}_{0}}$
答：（1）-q粒子飞出极板时的速度v的大小为$\sqrt{2}$v₀；
（2）磁感应强度B的大小为$\frac{2m{v}_{0}}{ql}$，在磁场中的运动时间t为$\frac{3πl}{4{v}_{0}}$．

点评 本题中带电粒子在组合场中运动，要掌握类平抛运动的研究方法：运动的合成和分解，磁场中画轨迹是解题的关键．