Question

8．小钢球质量为m，由某高处沿光滑的轨道由静止滑下，轨道形状如图所示，与光滑轨道相接的光滑圆形轨道的半径为R，要使小球沿光滑圆形轨道能通过最高点且在最高点处小球对轨道的压力不超过小球重力的3倍，则小球初始位置距地面的高度应满足何条件？

Answer 1

分析 使小球能够通过圆轨道最高点，那么小球在最高点时应该是恰好是物体的重力作为物体的向心力，由向心力的公式可以求得此时的最小的速度，由机械能守恒可以求得高度H的最小值．当轨道对小球的压力为小球重力的3倍时，由牛顿第二定律和机械能守恒结合，求出H的最大值，即可得解．

解答 解：设质量为m的小球恰能通过圆轨道最高点时，此时速度为v₁，初位置相对于圆轨道最低部的高度为H₁，由机械能守恒定律得：
mgH₁=2mgR+$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
小球恰好通过最高点时，有：mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得：H=$\frac{5}{2}R$
轨道对小球的压力不超过小球重力的3倍时，此时速度为v₂，初位置相对于圆轨道最低部的高度为H₂，由机械能守恒定律得：
mgH₂=2mgR+$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$
根据牛顿第二定律得：mg+N=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$
按题的要求，N≤3mg
解得：H≤4R
小球的初位置相对于圆形轨道底部的高度H的取值范围是：$\frac{5R}{2}≤H≤4R$．
答：小球初始位置距地面的高度应满足$\frac{5R}{2}≤H≤4R$．

点评 本题属于圆周运动中绳的模型，在最高点时应该是重力恰好做为圆周运动的向心力，对于圆周运动中的两种模型一定要牢牢的掌握住．