Question

如图所示，光滑水平面上，质量为2m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m的小球A以初速度v向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A与弹簧分离．（弹簧始终处于弹性限度以内）
（1）在上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多大；
（2）若开始时在B球的右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在A 球与弹簧分离之前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立刻将挡板撤走．设B球与固定挡板的碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变但方向相反．试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当A、B速度相同时，弹簧的势能最大，根据动量守恒定律和能量守恒定律求出弹簧的最大弹性势能．
（2）对B球与挡板碰撞前瞬间和B与挡板碰后反弹，当A、B速度相等两个过程运用动量守恒定律，通过能量守恒求出最大弹性势能与B速度的表达式．通过对B速度最大值的范围得出弹簧弹性势能最大值的范围．
解答：解：（1）当A球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A、B速度相同时，弹簧的势能最大．
设A、B的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则A、B系统动量守恒：mv=（m+2m）v①
由机械能守恒：…②
联立两式得：…③
（2）设B球与挡板碰撞前瞬间的速度为v_B，此时A的速度为v_A．
系统动量守恒：mv=mv_A+2mv_B…④
B与挡板碰后，以v_B向左运动，压缩弹簧，当A、B速度相同（设为v_共）时，弹簧势能最大，为E_m，则：mv_A-2mv_B=3mv_共…⑤
…⑥
由④⑤两式得：代入⑥式，化简得：…⑦
而当弹簧恢复原长时相碰，v_B有最大值v_Bm，则：
mv=mv_A′+2mv_Bm          mv²=mv_A′²+×2mv_Bm²
联立以上两式得：v_Bm=即v_B的取值范围为：…⑧
结合⑦式可得：当v_B=时，E_m有最大值为：…⑨
当v_B=时，E_m有最小值为：
答：（1）弹簧的最大弹性势能是．
（2）此后弹簧的弹性势能最大值的范围为[，]．
点评：本题综合考查了动量守恒定律、能量守恒定律，综合性较强，对学生的能力要求较高，且多次运用动量守恒定律，是一道难题．