Question

8．“玉兔号”登月车在月球表面接触的第一步实现了中国人“奔月”的伟大梦想，若机器人“玉兔号”在月球表面做了竖直上抛实验，测得物体以初速v₀抛出后，上升的最大高度为h，已知月球半径为R，求：
（1）月球表面重力加速度．
（2）周期为T的绕月做匀速圆周运动的卫星，离月球表面的高度H．

Answer 1

分析 （1）物体做竖直上抛运动，应用匀变速直线运动的速度位移公式可以求出重力加速度．
（2）卫星绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力，由万有引力公式与牛顿第二定律可以求出卫星的高度．

解答 解：（1）物体做竖直上抛运动，物体上升的高度：h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$，
月球表面的重力加速度：g=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$；
（2）卫星绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+H），
月球表面的物体受到的万有引力等于重力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：H=$\frac{1}{2}$$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}{v}_{0}^{2}}{h{π}^{2}}}$-R；
答：（1）月球表面重力加速度为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$．
（2）周期为T的绕月做匀速圆周运动的卫星，离月球表面的高度H为：$\frac{1}{2}$$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}{v}_{0}^{2}}{h{π}^{2}}}$-R．

点评 根据物体做竖直上抛运动的高度与初速度可以求出重力加速度；卫星做圆周运动万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以求出H，解题时注意“黄金代换”的应用．