Question

9．如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R＞＞$\overline{AC}$，甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放，问：
（1）两球第1次到达C点的时间之比．
（2）若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？

Answer 1

分析 （1）据自由路体运动和单摆的周期公式即可求解．（2）由于周期性，据自由落体运动和单摆的周期公式联合求解．

解答 解：（1）甲球做自由落体运动，$R=\frac{1}{2}gt_1^2$，所以有：${t_1}=\sqrt{\frac{2R}{g}}$
乙球沿圆弧第1次到达C处的时间为：${t_2}=\frac{T}{4}=\frac{{2π\sqrt{\frac{R}{g}}}}{4}=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$
所以，$\frac{t_1}{t_2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{π}$
（2）设甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，${t_甲}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
由于乙球运动的周期性，所以乙球到达最低点时间为${t_乙}=\frac{T}{4}+n\frac{T}{2}=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}（2n+1），n=0，1，2，…$
由甲、乙相遇t_甲=t_乙知：$h=\frac{{{{（2n+1）}^2}{π^2}R}}{8}（n=0，1，2，…）$
答：（1）两球第1次到达C点的时间之比是$\frac{2\sqrt{2}}{π}$；
（2）若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度$\frac{（2n+1）^{2}{π}^{2}R}{8}$ （n=0、1、2、…）．

点评 该题的第二问看似是第一问的重复，而实际上要考虑到乙运动的周期性，写出乙到达最低点的时刻的通式是解题的关键．