Question

19．如图所示，质量为m的竖直光滑圆环A的半径为r，竖直固定在质量为m的木板B上，木板B的两侧各有一竖直挡板固定在地面上，使木板不能左右运动．在环的最低点静置一质量为m的小球C．现给小球一水平向右的瞬时速度v₀，小球会在环内侧做圆周运动．为保证小球能通过环的最高点，且不会使木板离开地面，则初速度v₀必须满足（　　）

• A． $\sqrt{3gr}$≤v₀≤$\sqrt{5gr}$
• B． $\sqrt{gr}$≤v₀≤$\sqrt{3gr}$
• C． $\sqrt{7gr}$≤v₀≤3$\sqrt{gr}$
• D． $\sqrt{5gr}$≤v₀≤$\sqrt{7gr}$

Answer 1

分析 小球在环内侧做圆周运动，通过最高点速度最小时，轨道对球的最小弹力为零，根据牛顿第二定律求出小球在最高点的最小速度；为了不会使环在竖直方向上跳起，小球在最高点对轨道的弹力不能大于2mg，根据牛顿第二定律求出最高点的最大速度，再根据机械能守恒定律求出小球在最低点的速度范围．

解答 解：在最高点，速度最小时有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，解得：v₁=$\sqrt{gr}$．
从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设最低点的速度为v₁′，根据机械能守恒定律，有：
 2mgr+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv₁′²
解得：v₁′=$\sqrt{5gr}$．
要使不会使环在竖直方向上跳起，环对球的压力最大为：
 F=2mg
从最高点到最低点的过程中，机械能守恒，设此时最低点的速度为v₂′，
在最高点，速度最大时有：mg+2mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$
根据机械能守恒定律有：2mgr+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₂′²
解得：v₂′=$\sqrt{7gr}$．
所以为保证小球能通过环的最高点，且不会使木板离开地面，在最低点的初速度范围为：$\sqrt{5gr}$≤v≤$\sqrt{7gr}$．故D正确，ABC错误．
故选：D．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，关键理清在最高点的两个临界情况，求出在最高点的最大速度和最小速度．