Question

2．如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒B，棒下端离地面高H，上端套着一个细环A．棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg．断开轻绳，棒和环自由下落．与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失．棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计．求：
（1）若k＜1，在B再次着地前，要使A不脱离B，B至少应该多长？
（2）若k＞1，
①从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程s；
②从断开轻绳到棒和环都静止．摩擦力对环及棒做的总功W，假设棒足够长．

Answer 1

分析 （1）A和B第一次下降时，都是做自由落体运动，当木棒与地面相碰后，木棒开始向上做匀减速运动，圆环A在摩擦力的作用下，向下做加速运动，分析木棒的运动情况可知，木棒的速度小于圆环A的速度，木棒受到的摩擦力始终向下，由牛顿第二定律求出加速度，再由位移公式可以计算出木棒的长度．
（2）棒运动的总路程为原来下降的高度H，加上第一次上升高度的两倍，对棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，再由运动学公式可以求得上升的高度；　
（3）整个过程中能量的损失都是由于摩擦力对物体做的功，所以根据能量的守恒可以较简单的求得摩擦力对环及棒做的总功．

解答 解：B再次着地时共用时  t=$\frac{2v}{{a}_{B}}$
对A物体：mg-f=ma_A
在此时间内A的位移X_a=vt+$\frac{1}{2}$a_At²                             
要在B再次着地前A不脱离B，木棒长度L必须满足条件X_a≤L
解得：L≥$\frac{{{8m}^{2}g}^{2}h}{{（mg+f）}^{2}}$
（2）设以地面为零势能面，向上为正方向，棒第一次落地的速度大小为v₁
由机械能守恒$\frac{1}{2}×2m{{v}_{1}}^{2}=2mgH$
解得 ${v}_{1}=\sqrt{2gH}$
设棒弹起后的加速度a_棒
由牛顿第二定律 a_棒=-（k+1）g
棒第一次弹起的最大高度${H}_{1}=-\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{棒}}$ 
解得 ${H}_{1}=\frac{H}{k+1}$
棒运动的路程  S=H+2H₁=$\frac{k+3}{k+1}H$
（3）设环相对棒滑动距离为l
根据能量守恒  mgH+mg（H+l）=kmgl
摩擦力对棒及环做的总功为：W=-kmgl
解得：$W=-\frac{2kmgH}{k-1}$．
答：（1）若k＜1，在B再次着地前，要使A不脱离B，B至少应该为大于等于$\frac{{{8m}^{2}g}^{2}h}{{（mg+f）}^{2}}$
（2）若k＞1，
①从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程s为$\frac{k+3}{k+1}H$
②从断开轻绳到棒和环都静止．摩擦力对环及棒做的总功W为$-\frac{2kmgH}{k-1}$

点评 本题综合性较强，涉及多过程运动分析，难点在于分析棒和环的相对运动，进而得出位移，最后一个重要知识点是摩擦生热的计算．