Question

12．如图，一关于y轴对称的导体轨道位于水平面内，磁感应强度为B的匀强磁场与平面垂直．一足够长，质量为m的直导体棒沿x轴方向置于轨道上，在外力F作用下从原点由静止开始沿y轴正方向做加速度为a的匀速加速直线运动，运动时棒与x轴始终平行．棒单位长度的电阻ρ，与电阻不计的轨道接触良好，运动中产生的热功率随棒位置的变化规律为P=ky${\;}^{\frac{3}{2}}$（SI）．求：
（1）导体轨道的轨道方程y=f（x）；
（2）棒在运动过程中受到的安培力F_m随y的变化关系；
（3）棒从y=0运动到y=L过程中外力F的功．

Answer 1

分析 （1）求出安培力的功率及题给表达式，匀变速运动的速度位移关系，电阻关系式联立而得到轨道方程
（2）将安培力表示出来，联立轨道方程即可求解
（3）根据动能定理求外力F做功

解答 解：（1）设棒运动到某一位置时与轨道接触点的坐标为（±x，y），安培力的功率为：
$F=\frac{{B}_{\;}^{2}{j}_{\;}^{2}v}{R}$
$P=\frac{4{B}_{\;}^{2}{x}_{\;}^{2}{v}_{\;}^{2}}{R}=k{y}_{\;}^{\frac{3}{2}}$
棒做匀加速运动，有：
${v}_{\;}^{2}=2ay$
R=2ρx
代入前式得：$y=（\frac{4a{B}_{\;}^{2}}{kρ}）_{\;}^{2}{x}_{\;}^{2}$
轨道形式为抛物线．
（2）安培力为：${F}_{m}^{\;}=\frac{4{B}_{\;}^{2}{x}_{\;}^{2}}{R}v=\frac{2{B}_{\;}^{2}x}{ρ}\sqrt{2ay}$
以轨道方程代入得：
${F}_{m}^{\;}=\frac{k}{\sqrt{2a}}y$
（3）由动能定理有：${W}_{F}^{\;}-{W}_{m}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
y=L时     $F=\frac{k}{\sqrt{2a}}L$
安培力平均值$\overline{F}=\frac{k}{\sqrt{2a}}\frac{L}{2}$
安培力做功$W=\overline{F}•L=\frac{k}{\sqrt{2a}}\frac{L}{2}•L=\frac{k}{2\sqrt{2a}}{L}_{\;}^{2}$
安培力做功为：${W}_{m}^{\;}=\frac{k}{2\sqrt{2a}}{L}_{\;}^{2}$
棒在y=L处动能为：E_k=$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=maL$
外力F做功为：$W=\frac{k}{2\sqrt{2a}}{L}_{\;}^{2}+maL$
答：（1）导体轨道的轨道方程$y=（\frac{4a{B}_{\;}^{2}}{kρ}）_{\;}^{2}{x}_{\;}^{2}$
（2）棒在运动过程中受到的安培力F_m随y的变化关系${F}_{m}^{\;}=\frac{k}{\sqrt{2a}}y$；
（3）棒从y=0运动到y=L过程中外力F的功$\frac{k}{2\sqrt{2a}}{L}_{\;}^{2}+maL$+mgL．

点评 本题是电磁感应与力学和能量知识的综合，一要掌握力学的基本运动规律和动能定理，二要熟练运用电磁感应的规律，如法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式进行综合解题．