Question

如图所示是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”，电动机带动两个滚轮匀速转动将静止的夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆在重力作用下落回深坑，夯实坑底．如此循环往复．已知两个滚轮边缘的线速度恒为v=4m/s，每个滚轮对夯杆的压力F_N=2×10⁴N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数μ=0.3，夯杆质量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，取g=10m/s²．求：
（1）夯杆自坑底开始匀加速上升，当速度增加到4m/s时，夯杆上升的高度；
（2）夯杆自坑底上升的最大高度；
（3）夯杆往复运动的周期．

Answer 1

分析：（1）夯杆自坑底开始受到滚轮对夯杆的滑动摩擦力和重力而匀加速上升，根据牛顿第二定律先求得加速度，然后根据运动学公式列式求解上升的高度；
（2）夯杆离开地面后做竖直上抛运动，由运动学公式求解最大高度；
（3）先计算加速和减速上升的时间，然后计算自由落体的时间，总时间即为打夯周期；

解答：解：（1）夯杆开始阶段做匀加速运动，设加速度为a，根据牛顿第二定律得：
2μF_N-mg=ma，故a=2m/s²
当速度增加到4m/s时，夯杆上升的高度为：h₁=

v2

2a

解得：h₁=4m
（2）由于h₁＜h，可知，夯杆先匀加速运动4m，后匀速运动2.4m，当夯杆底端到达坑口时，两个滚轮彼此分开，夯杆做竖直上抛运动，则上升的高度为：h₂=

v2

2g

解得：h₂=0.8m
所以夯杆自坑底上升的最大高度为：H=h+h₂=7.2m
（3）夯杆从开始运动到落回原处共经历四个运动过程：向上匀加速运动、向上匀速运动、向上竖直上抛运动，向下自由落体运动，设这四个过程的时间分别为t₁、t₂、t₃、t₄．
由题意得：h₁=

1

2

a

t

2 1

得：t₁=2s
t₂=

h-h1

v

=0.6s
v=gt₃
得：t₃=0.4s
h+h₂=

1

2

g

t

2 4

得：t₄=1.2s
故夯杆往复运动的周期为T=t1+t2+t₃+t₄=3.2s．
答：（1）夯杆自坑底开始匀加速上升，当速度增加到4m/s时，夯杆上升的高度是4m；
（2）夯杆自坑底上升的最大高度是7.2m；
（3）夯杆往复运动的周期是3.2s．

点评：本题关键是分析求出夯杆的运动过程，把握每个过程所遵守的规律，然后根据牛顿第二定律和运动学公式列式求解．