Question

有一光滑水平板，板的中央有一个小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为M的小球，轻线的下端系着质量分别为m₁和m₂的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态.若将两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能再次在水平板上做匀速率圆周运动？

Answer 1

[解析]　　该题用定恒观点和转化观点分别解答如下：

解法一　（守恒观点）选小球为研究对象，设小球沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时的线速度为v₀，根据牛顿第二定律有 　　　

当剪断两物体之间的轻线后，轻线对小球的拉力减小，不足以维持小球在半径为R的轨道上继续做匀速率圆周运动，于是小球沿切线方向逐渐偏离原来的轨道，同时轻线下端的物体m₁逐渐上升，且小球的线速度逐渐减小.假设物体m₁上升高度为h，小球的线速度减为v时，小球在半径为（R+h）的轨道上再次做匀速率圆周运动，根据牛顿第二定律有

　　　　　　　　　　

再选小球M、物体m₁与地球所组的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m₁上升的过程，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒.选小球做匀速率圆周运动的水平面为零势面，设小球沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时物体m₁到水平板的距离为H，根据机械能守恒定律有：

　　　　

以上三式联立解得：.

解法二　　（转化观点）与解法一相同，首先列出两式，然后再选小球、物体m₁与地球组成的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m₁上升的过程，由于系统的机械能守恒，所以小球M动能的减少量等于物体m₁重力势能的增加量.即：

　　　 　　　　　　　 　　

式联立解得：.