Question

有一光滑水平板，板的中央有一个小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为M的小球，轻线的下端系着质量分别为m₁和m₂的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态．若将两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能再次在水平板上做匀速率圆周运动？

Answer 1

分析：小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，由细线的拉力提供向心力，而轻线下端的物体处于静止状态，合力为零，在将两物体之间的轻线剪断之后，系统的机械能守恒，根据牛顿第二定律、平衡条件和机械能守恒定律求解．

解答：解：解法一：选小球为研究对象，设小球沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时的线速度为v₀，根据牛顿第二定律有：
(m1+m2)g=M

v 2 0

R

… ①
当剪断两物体之间的轻线后，轻线对小球的拉力减小，不足以维持小球在半径为R的轨道上继续做匀速率圆周运动，于是小球沿切线方向逐渐偏离原来的轨道，同时轻线下端的物体m₁逐渐上升，且小球的线速度逐渐减小．
假设物体m₁上升高度为h，小球的线速度减为v时，小球在半径为（R+h）的轨道上再次做匀速率圆周运动，根据牛顿第二定律有：
m1g=M

v2

R+h

…②
再选小球M、物体m₁与地球所组的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m₁上升的过程，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒．选小球做匀速率圆周运动的水平面为零势面，设小球沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时物体m₁到水平板的距离为H，根据机械能守恒定律有：

1

2

M

v

2 0

-m1gH=

1

2

Mv2-m1g(H-h)…③
以上①②③三式联立解得：v=

(3m1+m2)gR 3M

．
解法二：与解法一相同，首先列出①②两式，然后再选小球、物体m₁与地球组成的系统为研究对象，研究两物体间的轻线剪断后物体m₁上升的过程，由于系统的机械能守恒，所以小球M动能的减少量等于物体m₁重力势能的增加量．即：

1

2

M

v

2 0

-

1

2

Mv2=m1gh…④
①②④式联立解得：v=

(3m1+m2)gR 3M

．
答：小球的线速度为

(3m1+m2)gR 3M

时才能再次在水平板上做匀速率圆周运动．

点评：解决本题的关键知道圆周运动向心力的来源和系统的机械能守恒，知道稳定时细线拉力等于下端物体的重力．