Question

如图，在0≤x≤d的空间，存在垂直xOy平面的匀强磁场，方向垂直xOy平面向里．y轴上P点有一小孔，可以向y轴右侧垂直于磁场方向不断发射速率均为v、与y轴所成夹角θ可在0～180⁰范围内变化的带负电的粒子．已知θ=45°时，粒子恰好从磁场右边界与P点等高的Q点射出磁场，不计重力及粒子间的相互作用．求：
（1）磁场的磁感应强度；
（2）若θ=30°，粒子射出磁场时与磁场边界的夹角（可用三角函数、根式表示）；
（3）能够从磁场右边界射出的粒子在磁场中经过的区域的面积（可用根式表示）．

Answer 1

分析：（1）根据θ=45°时，粒子恰好从磁场右边界与P点等高的Q点射出磁场，粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由几何关系确定已知长度与轨道半径的关系，从而根据半径公式，可求出磁场的感应强度．
（2）由已知入射角与半径的长度，根据几何关系，借助于三角形的正弦定理，可确定粒子射出磁场时与磁场边界的夹角．
（3）根据不同的入射速度方向，画出两种临界状态：一是沿着正y轴方向入射的轨迹；另一是与磁场右边界相切的轨迹．并由几何公式求出经过的区域面积．

解答：解：（1）当θ=45°时，粒子恰好从磁场右边界与P点等高的Q点射出磁场，
由几何关系可得，d=Rcos45°
解得：R=

2

2

d
粒子仅在洛伦兹力作用下，则有：Bqv=m

v2

R

所以，B=

mv

Rq

=

2 mv

qd

（2）根据半径的大小R=

2

2

d与入射角30°，可画出右图，
△AMd中，∠MdA=60°，AM=R，Ad=

d

sin60°

-R=

4 3 -3 2

6

d，
则三角形正弦定理可得，

Ad

sinα

=

AM

sin60°

，
设粒子射出磁场时与磁场边界的夹角为β，则有cosβ=sinα=

Ad

AM

sin60°=

2

-

3

2

所以θ=arccos(

2

-

3

2

)
（3）根据不同的入射速度方向，画出两种临界状态：一是沿着正y轴方向入射的轨迹；另一是与磁场右边界相切的轨迹
因此能够从磁场右边界射出的粒子在磁场中经过的区域的面积=图上方的扇形面积+下方菱形面积+右边的三角形面积-下方的扇形面积
=下方菱形面积面积+右边的三角形面积．
即有：

2

2

d×

2

2

d×

3

2

+

1

2

×(1-

2

2

)d×(

2

2

d×

3

2

+

2 -1

d)

点评：根据粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，依据几何特性作图是解题的关键之处．是典型的数理结合的题型，是难题．