题目内容
曲线上某处的曲率半径反映的是曲线的弯曲程度，曲率半径越小，说明曲线弯曲的程度越高；曲率半径相同，曲线弯曲程度相同．如图所示，发射卫星时先让卫星在近地轨道1上做圆周运动，后让卫星在以地球为一个焦点的椭圆轨道2上运动，最后让卫星进入同步轨道3做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，同步轨道的半径为r0，卫星的质量为m0．当质量为m的卫星离地心的距离为r时，其引力势能的表达式为Ep=-
（式中M为地球质量），不计近地轨道距地面的高度．
（1）求卫星在近地轨道的线速度v1，和在同步轨道的线速度v3．
（2）卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，圆周运动的半径可用近、远地点处的曲率半径ρ（未知）来表示，求卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率”：和远地点的速率v2′之比．
（3）需要给卫星提供多少能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上？
| GMm |
| r |
（1）求卫星在近地轨道的线速度v1，和在同步轨道的线速度v3．
（2）卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，圆周运动的半径可用近、远地点处的曲率半径ρ（未知）来表示，求卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率”：和远地点的速率v2′之比．
（3）需要给卫星提供多少能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上？
（1）根据万有引力提供向心力，
对于近地卫星，由于卫星贴近地球表面，则
G
=m
①
对于同步卫星，有
G
=m
②
又对于物体在地球表面时，万有引力近似等于重力，则有
m′g=G
③
由①②③解得，v1=
，v3=
（2）由题，卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，则得
v1′=v1，r2′=v2，
所以v1′：v2′=
：
=
：
（3）卫星在椭圆轨道2上近地点处，有 引力势能为Ep1=-
，动能为Ek1=
m
=
m?(
)2=
mgR
轨道3上卫星的引力势能为 Ep2=-
，动能为Ek2=
m
=
设需要给卫星提供能量为E时，能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上，根据能量守恒得：
E=（Ep2+Ek2）-（Ep1+Ek1）=（-
+
）-（-
+
mgR）=-
+
+
-
mgR．
答：（1）卫星在近地轨道的线速度v1为
，在同步轨道的线速度v3为
．
（2）卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率v1′和远地点的速率v2′之比为
：
．
（3）需要给卫星提供-
+
+
-
mgR的能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上．
对于近地卫星，由于卫星贴近地球表面，则
G
| Mm |
| R2 |
| ||
| R |
对于同步卫星，有
G
| Mm | ||
|
| ||
| r0 |
又对于物体在地球表面时，万有引力近似等于重力，则有
m′g=G
| Mm′ |
| R2 |
由①②③解得，v1=
| gR |
|
（2）由题，卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，则得
v1′=v1，r2′=v2，
所以v1′：v2′=
| gR |
|
| r0 |
| R |
（3）卫星在椭圆轨道2上近地点处，有 引力势能为Ep1=-
| GMm |
| R |
| 1 |
| 2 |
| v | 21 |
| 1 |
| 2 |
| gR |
| 1 |
| 2 |
轨道3上卫星的引力势能为 Ep2=-
| GMm |
| r0 |
| 1 |
| 2 |
| v | 23 |
| mgR2 |
| 2r0 |
设需要给卫星提供能量为E时，能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上，根据能量守恒得：
E=（Ep2+Ek2）-（Ep1+Ek1）=（-
| GMm |
| r0 |
| mgR2 |
| 2r0 |
| GMm |
| R |
| 1 |
| 2 |
| GMm |
| r0 |
| mgR2 |
| 2r0 |
| GMm |
| R |
| 1 |
| 2 |
答：（1）卫星在近地轨道的线速度v1为
| gR |
|
（2）卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率v1′和远地点的速率v2′之比为
| r0 |
| R |
（3）需要给卫星提供-
| GMm |
| r0 |
| mgR2 |
| 2r0 |
| GMm |
| R |
| 1 |
| 2 |
练习册系列答案
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曲线上某处的曲率半径反映的是曲线的弯曲程度，曲率半径越小，说明曲线弯曲的程度越高；曲率半径相同，曲线弯曲程度相同．如图所示，发射卫星时先让卫星在近地轨道1上做圆周运动，后让卫星在以地球为一个焦点的椭圆轨道2上运动，最后让卫星进入同步轨道3做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，同步轨道的半径为r0，卫星的质量为m0．当质量为m的卫星离地心的距离为r时，其引力势能的表达式为Ep=-
带电量为q=+
的带电小球，从小孔P以速度v=2m/s水平射入上述电场、磁场区域，之后从OA板上的M点垂直OA方向飞出上述的电磁场区域后而进入下方的电磁场区域 ，OA板下方电场方向变为水平向右，电场强度大小为
，当小球碰到水平地面时立刻加上匀强磁场，磁感应强度大小仍为B=1T，方向垂直纸面向里。小球与水平地面相碰时，竖直方向速度立刻减为零，水平方向速度不变，小球运动到D处刚好离开水平地面，然后沿着曲线DQ运动，重力加速度为g=10m/s2，小球在水平地面上运动过程中电量保持不变，不计摩擦。
；
（即把那一段曲线尽可能的微分，近似一个圆弧，这个圆弧对应的半径即曲线上这个点的曲率半径）。求vm与
带电量为q=+
的带电小球，从小孔P以速度v=2m/s水平射入上述电场、磁场区域，之后从OA板上的M点垂直OA方向飞出上述的电磁场区域后而进入下方的电磁场区域 ，OA板下方电场方向变为水平向右，电场强度大小为
，当小球碰到水平地面时立刻加上匀强磁场，磁感应强度大小仍为B=1T，方向垂直纸面向里。小球与水平地面相碰时，竖直方向速度立刻减为零，水平方向速度不变，小球运动到D处刚好离开水平地面，然后沿着曲线DQ运动，重力加速度为g=10m/s2，小球在水平地面上运动过程中电量保持不变，不计摩擦。
；
（即把那一段曲线尽可能的微分，近似一个圆弧，这个圆弧对应的半径即曲线上这个点的曲率半径）。求vm与
（式中M为地球质量），不计近地轨道距地面的高度．