Question

曲线上某处的曲率半径反映的是曲线的弯曲程度，曲率半径越小，说明曲线弯曲的程度越高；曲率半径相同，曲线弯曲程度相同．如图所示，发射卫星时先让卫星在近地轨道1上做圆周运动，后让卫星在以地球为一个焦点的椭圆轨道2上运动，最后让卫星进入同步轨道3做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，同步轨道的半径为r₀，卫星的质量为m₀．当质量为m的卫星离地心的距离为r时，其引力势能的表达式为E_p=-

GMm

r

（式中M为地球质量），不计近地轨道距地面的高度．
（1）求卫星在近地轨道的线速度v₁，和在同步轨道的线速度v₃．
（2）卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，圆周运动的半径可用近、远地点处的曲率半径ρ（未知）来表示，求卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率”：和远地点的速率v₂′之比．
（3）需要给卫星提供多少能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上？

Answer 1

分析：（1）卫星环绕地球运动时，由万有引力提供向心力，即可由牛顿第二定律列式求出卫星的速度；
（2）由题，卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，根据万有引力等于向心力求速度．
（3）卫星沿椭圆轨道2运动时，机械能守恒，先求出卫星在近地点的引力势能，得到机械能，再求出卫星沿轨道3运动时的机械能，即可根据能量守恒求解．

解答：解：（1）根据万有引力提供向心力，
对于近地卫星，由于卫星贴近地球表面，则
     G

Mm

R2

=m

v 2 1

R

  ①
对于同步卫星，有
    G

Mm

r 2 0

=m

v 2 3

r0

  ②
又对于物体在地球表面时，万有引力近似等于重力，则有
    m′g=G

Mm′

R2

  ③
由①②③解得，v₁=

gR

，v₃=

gR2 r0

（2）由题，卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，则得
    v₁′=v₁，r₂′=v₂，
所以v₁′：v₂′=

gR

：

gR2 r0

=

r0

：

R

  
（3）卫星在椭圆轨道2上近地点处，有 引力势能为E_p1=-

GMm

R

，动能为E_k1=

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m?(

gR

)2=

1

2

mgR
轨道3上卫星的引力势能为  E_p2=-

GMm

r0

，动能为E_k2=

1

2

m

v

2 3

=

mgR2

2r0

设需要给卫星提供能量为E时，能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上，根据能量守恒得：
   E=（E_p2+E_k2）-（E_p1+E_k1）=（-

GMm

r0

+

mgR2

2r0

）-（-

GMm

R

+

1

2

mgR）=-

GMm

r0

+

mgR2

2r0

+

GMm

R

-

1

2

mgR．
答：（1）卫星在近地轨道的线速度v₁为

gR

，在同步轨道的线速度v₃为

gR2 r0

．
（2）卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率v₁′和远地点的速率v₂′之比为

r0

：

R

．
（3）需要给卫星提供-

GMm

r0

+

mgR2

2r0

+

GMm

R

-

1

2

mgR的能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上．

点评：解决本题一要掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力两知识点，二要抓住题中信息，合理近似．