Question

如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形APB（圆半径比细管的内径大得多）和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知APB部分的半径R=1.0m，BC段长L=1.5m．弹射装置将一个质量m=0.1Kg的小球（可视为质点）以v₀=5m/s的水平初速度从A点弹入轨道，小球从C点离开轨道随即水平抛出，落地点D离开C的水平距离s=2m，不计空气阻力，g取10m/s²，求：
（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω和加速度a的大小
（2）小球在半圆轨道上运动时向心力的大小
（3）小球从A点运动到C点的时间t
（4）桌子的高度h．

Answer 1

分析：（1）小球在半圆形APB管内做匀速圆周运动，角速度为ω=

v0

R

，加速度a=ωv₀．
（2）根据牛顿第二定律求出向心力的大小；
（3）小球离开圆管后先做匀速直线运动，离开桌面后做平抛运动，根据运动学公式分别求出A到B和B到C的运动时间，从而求出小球从A到C的时间．
（4）根据平抛运动水平方向上运动的时间和竖直方向上运动的时间相等，求出桌子的高度．

解答：解：（1）小球在半圆形APB管内做匀速圆周运动时，角速度为ω=

v0

R

=

5

1

rad/s=5rad/s．
加速度为：a=ωv₀=5×5m/s²=25m/s²．
（2）设向心力的大小为F，根据牛顿第二定律得，F=ma=0.1×25N=2.5N．
（3）小球从A到B的时间 t₁=

πR

v0

=

π

5

s，从B到C做匀速直线运动，时间为t₂=

L

v0

=

1.5

5

s=0.3s
故小球从A点运动到C点的时间：t=t₁+t₂=

π

5

s+0.3s≈0.93s；
（4）小球从C到D的过程做平抛运动，则有：
  h=

1

2

gt2
  s=v₀t；
联立得：h=

s2g

2 v 2 0

=

22×10

2×52

m=0.8m；
答：
（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω为5rad/s，加速度a的大小为25m/s²．
（2）小球在半圆轨道上运动时向心力的大小为2.5N．
（3）小球从A点运动到C点的时间t约为0.93s；
（4）桌子的高度h为0.8m．

点评：解决本题的关键知道角速度、加速度与线速度的关系，以及知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，知道分运动与合运动具有等时性．