题目内容

9．一个半径r=0.10m的闭合导体圆环，圆环单位长度的电阻R0=1.0×10-2Ω/m．如图a所示，圆环所在区域存在着匀强磁场，磁场方向垂直圆环所在平面向外，磁感应强度大小随时间变化情况如图b所示．

（1）分别求在0～0.3s和0.3s～0.5s 时间内圆环中感应电动势的大小；
（2）分别求在0～0.3s和0.3s～0.5s 时间内圆环中感应电流的大小，并在图c中画出圆环中感应电流随时间变化的i-t图象（以线圈中逆时针电流为正，至少画出两个周期）；
（3）求出导体圆环中感应电流的有效值．

分析 根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势的大小，结合欧姆定律求出感应电流的大小，通过楞次定律判断出感应电流的方向，作出i-t图线．
根据电流的热效应得出电流的有效值．

解答 解：（1）在0～0.3 s时间内感应电动势为：E1=$\frac{△{B}_{1}}{△{t}_{1}}$πr2=$\frac{0.06}{0.3}×3.14×0.01$V=6.28×10-3V
在0.3 s～0.5 s时间内感应电动势为：E2=$\frac{△{B}_{2}}{△t}$πr2=$\frac{0.06}{0.2}×3.14×0.01V$=9.42×10-3V
（2）在0～0.3 s时间有：I1=$\frac{{E}_{1}}{2πr{R}_{0}}=\frac{6.28×1{0}^{-3}}{2×3.14×0.1×0.01}$A=1.0 A，根据楞次定律知，电流的方向为顺时针．
在0.3 s～0.5 s时间内有：I2=$\frac{{E}_{2}}{2πr{R}_{0}}$=$\frac{9.42×1{0}^{-3}}{2×3.14×0.1×0.01}$A=1.5 A，根据楞次定律知，电流的方向为逆时针．     
圆环中感应电流随时间变化的i-t图象如图所示．
（3）根据电流的热效应，有：${{I}_{1}}^{2}R{t}_{1}+{I}_{2}R{t}_{2}={I}^{2}R（{t}_{1}+{t}_{2）}$
代入数据求得：I=$\frac{\sqrt{6}}{2}$A．
答：（1）0～0.3s和0.3s～0.5s 时间内圆环中感应电动势的大小分别为6.28×10-3、9.42×10-3V．
（2）在0～0.3s和0.3s～0.5s 时间内圆环中感应电流的大小分别为1.0A、1，5A．
（3）导体圆环中感应电流的有效值为$\frac{\sqrt{6}}{2}A$．

点评 本题考查了法拉第电磁感应定律和楞次定律的基本运用，掌握求解感应电动势的方法，知道有效值的定义，抓住相同时间、相同电阻、相同热量进行求解．

练习册系列答案
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