Question

15．如图所示，有界匀强磁场边界线SP平行于MN，SP和MN相距为d，速率不同的同种带电粒子电荷量为e，质量为m．从S点沿SP方向同时射入磁场．其中穿过a点的粒子速度v₁与MN垂直；穿过b点的粒子速度v₂与MN成60°角，设两粒子从S到a、b所需时间分别为t₁和t₂，（重力不计）则：
①穿过a、b两处的粒子速度之比
②两粒子从S到a、b所需时间之比．

Answer 1

分析 ①带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据粒子的射入点和射出点，以及速度的方向画出运动的轨迹；根据粒子运动的轨迹求得粒子的运动半径和磁场宽度的关系，然后根据粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求得粒子运动的半径与速度的关系，最后求出两个粒子速度的比值；
②粒子做圆周运动的周期公式可以判断粒子的运动的时间．

解答 解：①根据题意，在图上画出两粒子的运动轨迹如图：
SP与MN之间的距离为d，由图可得从a点射出的粒子的半径：r₁=d
从b点射出的粒子：$\frac{{{r_2}-d}}{r_2}=cos60°$
所以：r₂=2d
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
即：$v=\frac{qBr}{m}$
所以：$\frac{v_1}{v_2}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{2}$
②粒子在磁场中运动的周期的公式为$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$，由此可知，粒子的运动的时间与粒子的速度的大小无关，所以粒子在磁场中的周期相同，由粒子的运动的轨迹可知，通过a点的粒子的偏转角为90°，通过b点的粒子的偏转角为60°，所以通过a点的粒子的运动的时间为$\frac{1}{4}T$，通过b点的粒子的运动的时间为$\frac{1}{6}$T，所以从S到a、b所需时间$\frac{t_1}{t_2}=\frac{3}{2}$，
答：①穿过a、b两处的粒子速度之比为1：2；
②两粒子从S到a、b所需时间之比为3：2．

点评 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动解题一般程序是：
1、画轨迹：确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．
2、找联系：轨迹半径与磁感应强度、速度联系；偏转角度与运动时间相联系，时间与周期联系．