Question

如图所示，竖直平面内的

3

4

圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为与水平方向成45°的斜面，B端在O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰能到达B点．求：
（1）小球到达B点时速度的大小；
（2）释放点距A点的竖直高度；
（3）小球落到斜面AD上C点时速度的大小和方向．

Answer 1

分析：（1）小球恰能到达B点，说明此时恰好是物体的重力作为向心力，由向心力的公式可以求得在B点的速度大小；
（2）从开始下落到B的过程中，物体的机械能守恒，从而可以求得小球释放时距A点的竖直高度．
（3）离开B点后小球做平抛运动，根据水平方向的匀速直线运动，竖直方向上的自由落体运动可以求得小球的速度．

解答：解：（1）小球到达B点：由mg=m

V 2 B

R

  
得：V_B=

gR

 
（2）设小球的释放点距A点高度为h
由机械能守恒定律，得：mg(h-R)=

1

2

m

v

2 B

得：h=

3

2

R 
（3）小球落到C点时：由tanθ=

y

x

，得：tan45°=

1 2 gt2

VBt

解得：t=2

R g

  V_y=gt=2

gR

  
小球落到C点得速度大小：v=

v 2 y + v 2 B

=

5gR

 
小球落到C点时，速度与水平方向夹角为?：tan?=

vy

vB

=

2 gR

gR

=2 
答：（1）小球到达B点时速度的大小为

gR

；
（2）释放点距A点的竖直高度是

3

2

R；
（3）小球落到斜面AD上C点时速度的大小是

5gR

与水平方向夹角的正切值是2．

点评：小球的运动过程可以分为三部分，第一段是自由落体运动，第二段是圆周运动，此时机械能守恒，第三段是平抛运动，分析清楚各部分的运动特点，采用相应的规律求解即可．