Question

在光滑的水平轨道上，有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间距离大于l（l比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间距离等于或小于l时，两球间存在相互作用的恒定斥力F.设A球从远离B球处以速度v₀沿两球连心线向原来静止的B球运动，如图3-3-17所示，欲使两球不发生接触，v₀必须满足什么条件？

图3-3-17

Answer 1

思路点拨：本题的关键是正确找出两球“不接触”的临界状态.据题意，当A、B两球球心间距离小于1时，两球间存在相互作用的恒定斥力F，故A减速而B加速.当v_A＞v_B时，A、B间距离减小；当v_A＜v_B时，A、B间距离增大.可见，当v_A=v_B时，A、B相距最近.若此时A、B间距离d＞2r，则A、B不发生接触（如图3-3-18）.

图3-3-18

上述状态即为所寻找的临界状态，v_A=v_B 时x＞2r则为临界条件.两球从相互作用开始，A的位移为s_A，B的位移为s_B，d=s_B+l-s_A＞2r.利用牛顿运动定律和运动学公式根据分析知

两球间距离最小时有：v_A=v_B                                                    ①

设相互作用过程中，A、B两球的位移分别为s_A和s_B，则距离关系为：s_B+l-s_A＞2r    ②

由牛顿第二定律得，两球加速度分别为：a_A=F/m,a_B=F/2m                           ③

由运动学公式知，两球速度分别为：

v_A=v₀-a_At，v_B=a_Bt                                                             ④

由运动学公式知，两球位移分别为：s_A=v₀t-a_At²/2，s_B=a_Bt²/2                        ⑤

联立①—⑤方程解方程组得：

v₀=.

答案：欲使两球不发生接触，必须满足：v₀＜的条件.