Question

（2008?北京）有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度v₀与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失．碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图所示．
（1）已知滑块质量为m，碰撞时间为△t，求碰撞过程中A对B平均冲力的大小．
（2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑（经分析，A下滑过程中不会脱离轨道）．
a．分析A沿轨道下滑到任意一点的动量p_A与B平抛经过该点的动量p_B的大小关系；
b．在OD曲线上有一M点，O和M两点连线与竖直方向的夹角为45°．求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度．

Answer 1

分析：（1）AB滑块在碰撞的过程中动量守恒，根据动量守恒可以求得碰后B的速度的大小，在由动量定理可以求得AB之间的相互的作用力的大小；
（2）a、A滑块在运动的过程中，只有重力做功，它的机械能守恒，而B做的是平抛运动，B有一个水平方向的初速度，所以在任意的一个位置，B的合速度都要比A的速度大，由此可以分析它们的动量的关系；
b、M点在平抛运动的轨迹上，所以M点水平的位移和竖直方向上的位移满足平抛运动的规律，再根据B滑块做的是平抛运动，可以求得在M点的水平速度和竖直速度之间的关系．

解答：解：（1）滑动A与B正碰，满足
mv_A-mV_B=mv₀ ①

1

2

mv_A²+

1

2

mv_B²=

1

2

mv₀                 ②
由①②，解得v_A=0，v_B=v₀，
根据动量定理，滑块B满足 F?△t=mv₀
解得 F=

mv0

△t

．
所以碰撞过程中A对B平均冲力的大小为

mv0

△t

．
（2）a．设任意点到O点竖直高度差为d．
A、B由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒．
选该任意点为势能零点，有
E_A=mgd，E_B=mgd+

1

2

mv₀²
由于p=

2mEK

，
有

PA

PB

=

EKA EKB

=

2gd V 2 0 +2gd

＜1，
即   P_A＜P_B
所以A下滑到任意一点的动量总和是小于B平抛经过该点的动量．
b．以O为原点，建立直角坐标系xOy，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，则对B有
x=v₀t，
y=

1

2

gt²
B的轨迹方程 y=

g

2 v 2 0

x²，
在M点x=y，所以  y=

2 v 2 0

g

         ③
因为A、B的运动轨迹均为OD曲线，故在任意一点，两者速度方向相同．
设B水平和竖直分速度大小分别为v_Bx和v_By，速率为v_B；
A水平和竖直分速度大小分别为v_Ax和v_Ay，速率为v_A，则

VAX

VA

=

VBX

VB

，

VAy

VA

=

VBy

VB

    ④
B做平抛运动，故v_Bx=v₀，v_By=

2gy

，v_B=

v 2 0 +2gy

  ⑤
对A由机械能守恒得v_A=

2gy

，⑥
由④⑤⑥得v_Ax=

V0 2gy

V 2 0 +2gy

，v_Ay=

2gy

V 2 0 +2gy

将③代入得 v_Ax=

2 5

5

v₀ ，v_Ay=

4 5

5

v₀．
所以A通过M点时的水平分速度为

2 5

5

v₀ ，竖直分速度的大小为

4 5

5

v₀．

点评：本题的第二问比较新颖，A沿着平抛轨迹的轨道运动，B做的是平抛运动，它们的运动的轨迹相同，但是在每个地方的速度的情况并不相同，主要的区别就在于B有一个水平的初速度；
在计算M点的水平和竖直速度的大小的时候，充分的利用了B做平抛运动的规律，本题是考查平抛运动规律的一道好题．