Question

3．如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形ABC（圆半径比细管的内径大得多）和直线CD组成的轨道固定在水平桌面上，已知ABC部分的半径R=1.0m，CD段长L=1.5m．弹射装置将一个质量为0.8kg的小球（可视为质点）以某一水平初速度从A点弹入轨道，小球从D点离开轨道随即水平抛出后恰落入水平面上的小孔P内，已知小球刚落进小孔P时，重力的功率为32W，小球从A运动到P的整个过程经历的时间为1.328s，不计空气阻力，g取10m/s²，π取值3.14．求：
（1）D与P间的水平间距；
（2）半圆形弯管 ABC对小球作用力的大小．

Answer 1

分析 （1）根据瞬时功率的表达式求出小球在到达P时竖直方向的分速度，结合自由落体运动求出D到P的时间；根据匀速直线运动与匀速圆周运动的路程与时间的关系，以及运动的总时间求出速度，最后求出D到P的水平距离；
（2）半圆形弯管 ABC对小球作用力与重力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律即可求出．

解答 解：（1）设小球进入P时，竖直方向的分速度为v_y，则：
${v}_{y}=\frac{P}{mg}=\frac{32}{0.8×10}=4$m/s
设小球从D到P的时间为t₃，则：
${t}_{3}=\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{4}{10}=0.4$s
小球从A到C的时间：${t}_{1}=\frac{πR}{{v}_{0}}$
从C到D的时间：${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{0}}$
又：t₁+t₂+t₃=1.328s
联立得：v₀=5m/s
DP之间的水平距离：x=v₀t₃=5×0.4=2m
（2）半圆形弯管 ABC对小球作用力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
$\sqrt{{F}^{2}-m{g}^{2}}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
所以：F=$\sqrt{（mg）^{2}+（\frac{m{v}^{2}}{R}）^{2}}$=$\sqrt{（0.8×10）^{2}+（\frac{0.8×{5}^{2}}{1.0}）^{2}}=\sqrt{464}≈21.5$N
答：（1）D与P间的水平间距是0.2m；
（2）半圆形弯管 ABC对小球作用力的大小是21.5N．

点评 本题是匀速圆周运动、匀速直线运动和平抛运动的组合，记住匀速圆周运动的角速度、加速度等等公式，就可以轻松解答．