Question

6．如图，ab和cd是两条竖直放置的长直光滑金属导轨，MN和M'N'是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为m和2m．竖直向上的外力F作用在杆MN上，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触；两杆的总电阻为R，导轨间距为l．整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直．导轨电阻可忽略，重力加速度为g．在t=0时刻将细线烧断，保持F不变，金属杆和导轨始终接触良好．求
（1）细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比；
（2）两杆分别达到的最大速度．

Answer 1

分析 （1）细线烧断前对MN和M′N′受力分析，得出竖直向上的外力F=3mg，细线烧断后对MN和M'N'受力分析，根据动量守恒求出任意时刻两杆运动的速度之比．
（2）分析MN和M′N′的运动过程，当MN和M′N′的加速度减为零时，速度最大，由平衡条件求出最大速度．

解答 解：（1）细线烧断前，MN和M′N′受力分析，对于两杆组成的整体，由平衡条件得：竖直向上的外力 F=3mg．
设某时刻MN和M′N′速度分别为v₁、v₂．
取向上为正方向，根据系统的动量守恒得：mv₁-2mv₂=0 
求出：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=2   ①
（2）细线烧断后，MN向上做加速运动，M′N′向下做加速运动，由于速度增加，感应电动势增加，MN和M′N′所受安培力增加，所以加速度在减小．
当MN和M′N′的加速度减为零时，速度最大．
对M′N′受力平衡：BIl=2mg  ②
 I=$\frac{E}{R}$  ③
回路的感应电动势 E=Blv₁+Blv₂ ④
由①-④得：v₁=$\frac{4mgR}{3{B}^{2}{l}^{2}}$、v₂=$\frac{2mgR}{3{B}^{2}{l}^{2}}$
答：
（1）细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比为2；
（2）MN和M′N′两杆达到的最大速度分别为$\frac{4mgR}{3{B}^{2}{l}^{2}}$和$\frac{2mgR}{3{B}^{2}{l}^{2}}$．

点评 能够分析物体的受力情况，运用动量守恒求出两个物体速度关系．在直线运动中，速度最大值一般出现在加速度为0的时刻．