Question

2．已知地球半径为R，地面的重力加速度为g．假设近地卫星I离地面的高度可以忽略，圆轨道卫星II离地面的高度为3R，求：
（1）卫星I和II的运行速度之比；
（2）已知两卫星绕地运行的轨道平面重合且绕行方向相同，某时刻两卫星的间距最近，以该时刻为计时起点，求：哪些时刻两卫星间的距离会最远？

Answer 1

分析 （1）根据卫星受到的万有引力等于向心力列式，得到卫星速度表达式，再求解即可．
（2）根据地球表面处重力等于万有引力列式，结合上题结果得到卫星的角速度．从两卫星的间距最近到相距最远时，两卫星转过的角度之差等于（n•2π+π），由此列式求解．

解答 解：（1）设任一卫星的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力等于向心力，得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
由题知，近地卫星Ⅰ的轨道为R，卫星Ⅱ的轨道半径为3R+R=4R，代入上式可得：卫星I和Ⅱ的运行速度之比为 2：1．
（2）在地球表面上，有 mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，可得 GM=gR²．
卫星的角速度为：ω=$\frac{v}{r}$=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{r}^{3}}}$
则得近地卫星的角速度为：ω_Ⅰ=$\sqrt{\frac{g}{R}}$，
卫星Ⅱ的角速度为：ω_Ⅱ=$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{g}{R}}$
设从两卫星的间距最近起计时，再经过时间t两卫星间的距离最远．则有：
（ω_Ⅰ-ω_Ⅱ）t=（n•2π+π），n=0，1，2，…
解得：t=$\frac{4（2n+1）π}{3}\sqrt{\frac{R}{g}}$，n=0，1，2，…
答：（1）卫星I和Ⅱ的运行速度之比为 2：1．
（2）在t=$\frac{4（2n+1）π}{3}\sqrt{\frac{R}{g}}$，n=0，1，2，…时刻两卫星间的距离会最远．

点评 本题关键是抓住万有引力提供向心力和万有引力等于重力，结合几何关系解答．