如图所示.圆心为原点.半径为R的圆将xOy平面分为两个区域.即圆内区域Ⅰ和圆外区域Ⅱ．区域Ⅰ内有方向垂直于xOy平面的匀强磁场B1．平行于x轴的荧光屏垂直于xOy平面.放置在直线y=-$\sqrt{3}$R的位置．一束质量为m.电荷量为q.动能为E0的带正电粒子从坐标为的A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ.当区域Ⅱ内无磁场时.粒子全部垂直打在荧光屏上坐标为的M� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图所示，圆心为原点、半径为R的圆将xOy平面分为两个区域，即圆内区域Ⅰ和圆外区域Ⅱ．区域Ⅰ内有方向垂直于xOy平面的匀强磁场B₁．平行于x轴的荧光屏垂直于xOy平面，放置在直线y=-$\sqrt{3}$R的位置．一束质量为m、电荷量为q、动能为E₀的带正电粒子从坐标为（-R，0）的A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，当区域Ⅱ内无磁场时，粒子全部垂直打在荧光屏上坐标为（R，-$\sqrt{3}$R）的M点．若在区域Ⅱ内加上方向垂直于xOy平面的匀强磁场B₂，上述粒子仍从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，则粒子全部打在荧光屏上坐标为（2R，-$\sqrt{3}$R）的N点，不计粒子的重力和粒子间的相互作用．
（1）求打在M点和N点的粒子的运动速度v₁、v₂的大小；
（2）求区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B₁、B₂的大小和方向；
（3）在（2）的情况下，若没有荧光屏，则粒子是否能回到A点？若能回到A点，求出粒子从A点出发，经多长时间回到A点；若不能回到A点，请简要说明理由．

分析（1）粒子在磁场中洛伦兹力不做功，粒子的动能不变，根据动能的大小求出粒子的速度大小．
（2）抓住粒子全部打在荧光屏上坐标为（0，-2.2R）的M点，根据荧光屏沿y轴负方向平移，粒子打在荧光屏上的位置不变，得出粒子在磁场区域Ⅰ中的轨迹，结合半径公式求出磁场的磁感应强度大小，根据偏转方向确定磁场的方向；根据粒子全部打在荧光屏上坐标为（0.4R，-2.2R）的 N点，作出轨迹，根据几何关系求出半径，从而得出磁感应强度的大小和方向．
（3）根据几何关系和对称性分析粒子能否A点．根据轨迹对应的圆心角求出粒子两个区域运动的时间，从而得到粒子回到A点的时间．

解答解：（1）粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，打在M点和N点的粒子动能均为E₀，速度v₁、v₂大小相等，均设为v，则由E₀=$\frac{1}{2}$mv²
得：v=$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$．
即v₁=v₂=$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$．
（2）如图所示，区域Ⅱ中无磁场时，粒子在区域Ⅰ中运动后打在M点，轨迹圆心是O₁点，根据几何知识，可知OM与y轴负方向的夹角为30°，粒子在区域Ⅰ中运动的半径为：r₁=$\sqrt{3}$R
区域Ⅱ有磁场时，粒子轨迹圆心是O₂点，半径为r₂，解得：r₂=$\sqrt{3}$R
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得：B₁=B₂=$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{\sqrt{3}qR}$，B₁的方向垂直xOy平面向外．B₂的方向垂直xOy平面向里．
（3）根据几何关系，O₂点在x轴上，根据对称性可知，粒子能回到A点
粒子在区域Ⅱ运动时间为$\frac{5}{6}$T
粒子在区域Ⅰ运动时间为$\frac{1}{3}$T
则粒子回到A点的时间为 t=$\frac{5}{6}$T+$\frac{1}{3}$T=$\frac{7}{6}$T=$\frac{7πm}{3Bq}$=$\frac{7πR}{6}$$\sqrt{\frac{6m}{{E}_{0}}}$
答：
（1）打在M点和N点的粒子的运动速度v₁、v₂的大小均为$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$．
（2）区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B₁、B₂的大小均为$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{\sqrt{3}qR}$，B₁的方向垂直xOy平面向外．B₂的方向垂直xOy平面向里．
（3）粒子能回到A点，粒子回到A点的时间为$\frac{7πR}{6}$$\sqrt{\frac{6m}{{E}_{0}}}$．