Question

16．万有引力定律的发现是17世纪最伟大的物理成就之一．牛顿通过下述两个步骤完成了万有引力定律的数学推导．
（1）在前人研究的基础上，牛顿证明了“行星和太阳之间的引力跟行星的质量成正比，跟行星到太阳之间的距离的二次方成反比”．
（2）据牛顿第三定律，牛顿提出：“既然这个引力与行星的质量成正比，当然也应该和太阳的质量成正比”．
请你根据上述推导思路，完成万有引力定律数学表达式的推导．（注意：要说明各个字母的含义及推导依据）

Answer 1

分析 太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动需要的向心力，根据开普勒周期定律可以推导出太阳对行星的引力跟行星的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比，再根据牛顿第三定律，行星吸引太阳的力跟太阳吸引行星的力大小相等并且具有相同的性质，即行星对太阳的吸引力也应该和太阳的质量成正比．

解答 解：设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力：$F=m\frac{{v}^{2}}{r}$
又行星运动速度v和周期T的关系：$v=\frac{2πr}{T}$
代入向心力公式得：$F=4{π}^{2}（\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}）\frac{m}{{r}^{2}}$
根据开普勒行星运动的规律：$\frac{{T}^{2}}{{r}^{3}}=k$（常数）
得出结论：行星和太阳之间的引力跟行星的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比，即：F∝$\frac{m}{{r}^{2}}$
根据牛顿第三定律，行星吸引太阳的力跟太阳吸引行星的力大小相等并且具有相同的性质，即行星对太阳的吸引力也应该和太阳的质量成正比．用M表示太阳的质量，F′表示行星对太阳的吸引力：F′∝且：F=F′
可得：F∝$\frac{Mm}{{r}^{2}}$ 写成等式：$F=G\frac{Mm}{{r}^{2}}$

点评 本题要掌握引力提供向心力和开普勒周期定律，要掌握牛顿第三定律，知道太阳对行星的引力与行星对太阳的引力具有相同的性质．